# Matematyka — zadanie 20

> Źródło: matura.lol — https://matura.lol/question/sprawnamatura-matura-sierpie-2016/zad/20
> Wersja Markdown strony zadania (dla asystentów AI). Przy cytowaniu podaj matura.lol i link powyżej.

- arkusz: Matematyka · Matura · 2016 (podstawowa)
- rok: 2016
- poziom: podstawowa
- typ: closed
- punkty: 1
- działy: Geometria analityczna

## Treść

Okręgi o środkach \(S_1=(3,4)\) oraz \(S_2=(9,-4)\) i równych promieniach są styczne zewnętrznie. Promień każdego z tych okręgów jest równy

## Rozwiązanie — sprawnamatura

Krok 1. Sporządzenie rysunku poglądowego.

Jeśli dość dokładnie narysujemy ten szkic to tak naprawdę już z samego rysunku będziemy w stanie odczytać długość promienia, zwłaszcza że punkt styczności wypadnie w równym punkcie \(A=(6;0)\). Skąd wiemy, że akurat w tym punkcie wypadnie punkt styczności? Skoro promienie mają być sobie równe, to punkt styczności będzie tak naprawdę środkiem odcinka \(S_{1}S_{2}\) (możemy go wyznaczyć albo matematycznie, albo nawet linijką jeśli inaczej nie potrafimy).

To jest jednak taki alternatywny sposób (gdybyśmy nie umieli tego obliczyć nieco bardziej matematycznie). My natomiast spróbujmy policzyć to zadanie z wykorzystaniem wzoru na odległość między dwoma punktami.

Krok 2. Obliczenie odległości między \(S_{1}\) oraz \(S_{2}\).

Zgodnie ze wzorem na odległość między dwoma punktami mamy:

$$|S_{1}S_{2}|=\sqrt{(x_{2}-x_{1})^2+(y_{2}-y_{1})^2} \\

|S_{1}S_{2}|=\sqrt{(9-3)^2+(-4-4)^2} \\

|S_{1}S_{2}|=\sqrt{6^2+(-8)^2} \\

|S_{1}S_{2}|=\sqrt{36+64} \\

|S_{1}S_{2}|=\sqrt{100} \\

|S_{1}S_{2}|=10$$

Krok 3. Obliczenie długości promienia.

Z rysunku bardzo wyraźnie wynika, że odległość między środkami \(S_{1}\) oraz \(S_{2}\) jest równa sumie długości promieni. W treści zadania mamy informację, że długości tych promieni są równe, więc oznaczając każdy z nich jako \(r\) otrzymamy:

$$r+r=10 \\

2r=10 \\

r=5$$

![rysunek](https://urqfqczecfbhzvrlsvmp.supabase.co/storage/v1/object/public/task-images/solutions/matura-69.png)

## Odpowiedź

**Odpowiedź:** C

_Źródło nieoficjalne._

## Linki

- [dane JSON](https://matura.lol/api/question/sprawnamatura-matura-sierpie-2016/zad/20)
- [otwórz w wyszukiwarce](https://matura.lol/?problem=sprawnamatura-matura-sierpie-2016%2Fzad%2F20)

## Podobne zadania

- [Zadanie 15](https://matura.lol/question/matematyka-2023-czerwiec-matura-stara-rozszerzona/zad/15) — Zadanie 15. (0-7) Okrąg 𝑜1 o środku w punkcie 𝑆1 jest określony równaniem (𝑥-6)2 + (𝑦+ 1)2 = 16. Okrąg 𝑜2 ma środek w punkcie 𝑆2 takim, że 𝑆1𝑆2⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ = [-4, 4
- [Zadanie 13](https://matura.lol/question/sprawnamatura-matura-rozszerzona-czerwiec-2026/zad/13) — W kartezjańskim układzie współrzędnych \((x, y)\) rozważamy wszystkie trójkąty prostokątne \(ABC\), w których \(C = (0, 0)\), wierzchołek \(B\) leży na dodatnie
- [Zadanie 11](https://matura.lol/question/matematyka-2025-czerwiec-matura-rozszerzona/zad/11) — Zadanie 11. (0-6) W kartezjańskim układzie współrzędnych (𝑥, 𝑦) dany jest równoległobok 𝐴𝐵𝐶𝐷 o wierzchołkach 𝐴= (-8, -1) i 𝐷= (-13, 9) oraz środku symetrii 𝑀= (
- [Zadanie 11](https://matura.lol/question/matematyka-2024-czerwiec-matura-rozszerzona/zad/11) — Zadanie 11. (0-6) W kartezjańskim układzie współrzędnych (𝑥, 𝑦) prosta o równaniu 3𝑥+ 𝑦+ 2 = 0 przecina parabolę o równaniu 𝑦= 𝑥2 -2𝑥-8 w punktach 𝐴 oraz 𝐵, któ

_Ostatnia aktualizacja danych: 2026-10-03_