# Matematyka — zadanie 21

> Źródło: matura.lol — https://matura.lol/question/sprawnamatura-matura-sierpie-2016/zad/21
> Wersja Markdown strony zadania (dla asystentów AI). Przy cytowaniu podaj matura.lol i link powyżej.

- arkusz: Matematyka · Matura · 2016 (podstawowa)
- rok: 2016
- poziom: podstawowa
- typ: closed
- punkty: 1
- działy: Stereometria

## Treść

Podstawą graniastosłupa prawidłowego czworokątnego jest kwadrat o boku długości \(2\), a przekątna ściany bocznej ma długość \(3\) (zobacz rysunek). Kąt, jaki tworzą przekątne ścian bocznych tego graniastosłupa wychodzące z jednego wierzchołka, ma miarę \(\alpha \). Wtedy wartość \(\sin \frac{\alpha }{2}\) jest równa

## Rozwiązanie — sprawnamatura

Krok 1. Obliczenie długości krawędzi bocznej.

W podstawie graniastosłupa znajduje się kwadrat o boku \(a=2\). Przekątna ściany bocznej ma długość \(\sqrt{10}\). Ściana boczna jest prostokątem o wymiarach \(a=2\) (podstawa kwadratu) oraz \(H\) (wysokość graniastosłupa). Korzystając z Twierdzenia Pitagorasa obliczymy wysokość:

$$a^2+H^2=(\sqrt{10})^2 \\

2^2+H^2=10 \\

4+H^2=10 \\

H^2=6 \\

H=\sqrt{6}$$

Krok 2. Obliczenie objętości graniastosłupa.

Pole podstawy to pole kwadratu \(P_p=a^2=2^2=4\). Objętość graniastosłupa:

$$V=P_p \cdot H \\

V=4\cdot\sqrt{6} \\

V=4\sqrt{6}$$

## Odpowiedź

**Odpowiedź:** \(V=4\sqrt{6}\)

_Źródło nieoficjalne._

## Linki

- [dane JSON](https://matura.lol/api/question/sprawnamatura-matura-sierpie-2016/zad/21)
- [otwórz w wyszukiwarce](https://matura.lol/?problem=sprawnamatura-matura-sierpie-2016%2Fzad%2F21)

## Podobne zadania

- [Zadanie 15](https://matura.lol/question/matematyka-2020-lipiec-matura-rozszerzona/zad/15) — Zadanie 15. (0-7) Rozpatrujemy wszystkie ostrosłupy prawidłowe czworokątne, w których suma promienia okręgu opisanego na podstawie i długości krawędzi bocznej j
- [Zadanie 10](https://matura.lol/question/matematyka-2005-maj-matura-podstawowa/zad/10) — Zadanie 10. (7 pkt) W ostrosłupie czworokątnym prawidłowym wysokości przeciwległych ścian bocznych poprowadzone z wierzchołka ostrosłupa mają długości h i tworz
- [Zadanie 11](https://matura.lol/question/matematyka-2004-styczen-probna-podstawowa/zad/11) — Zadanie 11. (7 pkt) Wyznacz miarę kąta między ścianą boczną i płaszczyzną podstawy ostrosłupa prawidłowego sześciokątnego wiedząc, że pole jego podstawy jest ró
- [Zadanie 10](https://matura.lol/question/matematyka-2023-przykladowy-arkusz-cke-rozszerzona/zad/10) — Zadanie 10. (0-6) Dany jest ostrosłup prawidłowy czworokątny 𝐴𝐵𝐶𝐷𝑆 o podstawie 𝐴𝐵𝐶𝐷 i polu powierzchni bocznej równym 𝑃. Kąt między wysokościami sąsiednich ścia

_Ostatnia aktualizacja danych: 2026-10-03_