# Matematyka — zadanie 31

> Źródło: matura.lol — https://matura.lol/question/sprawnamatura-matura-sierpie-2016/zad/31
> Wersja Markdown strony zadania (dla asystentów AI). Przy cytowaniu podaj matura.lol i link powyżej.

- arkusz: Matematyka · Matura · 2016 (podstawowa)
- rok: 2016
- poziom: podstawowa
- typ: open
- punkty: 4
- działy: Ciągi

## Treść

Ciąg arytmetyczny \((a_n)\) określony jest wzorem \(a_n=2016-3n\), dla \(n\ge 1\). Oblicz sumę wszystkich dodatnich wyrazów tego ciągu.

## Rozwiązanie — sprawnamatura

Krok 1. Wyznaczenie liczby dodatnich wyrazów ciągu \((a_{n})\).

Aby dodać do siebie wartości wszystkich wyrazów dodatnich musimy najpierw ustalić ile ich tak właściwie jest w tym ciągu. Przykładowo gdy \(n=1\), to wyraz jest dodatni i jest równy \(a_{1}=2016-3=2013\). Jednak gdy \(n=1000\) to wyraz jest już ujemny i wynosi \(a_{1000}2016-3000=-984\). Aby obliczyć ile jest wyrazów dodatnich wystarczy rozwiązać następującą nierówność:

$$a_{n}\gt0 \\

2016-3n\gt0 \\

-3n\gt-2016 \\

-n\gt-672 \\

n\lt672$$

Wiemy, że w ciągach \(n\) musi być liczbą naturalną, czyli skoro \(n\lt672\) to będziemy mieli \(671\) wyrazów dodatnich.

Krok 2. Obliczenie sumy wszystkich wyrazów dodatnich.

Sumę wszystkich wyrazów obliczymy w następujący sposób:

$$S_{n}=\frac{a_{1}+a_{n}}{2}\cdot n \\

S_{671}=\frac{a_{1}+a_{671}}{2}\cdot671 \\

S_{671}=\frac{(2016-3\cdot1)+(2016-3\cdot671)}{2}\cdot671 \\

S_{671}=\frac{2013+3}{2}\cdot671 \\

S_{671}=\frac{2016}{2}\cdot671 \\

S_{671}=1008\cdot671 \\

S_{671}=676368$$

## Odpowiedź

**Odpowiedź:** \(676368\)

_Źródło nieoficjalne._

## Linki

- [dane JSON](https://matura.lol/api/question/sprawnamatura-matura-sierpie-2016/zad/31)
- [otwórz w wyszukiwarce](https://matura.lol/?problem=sprawnamatura-matura-sierpie-2016%2Fzad%2F31)

## Podobne zadania

- [Zadanie 19](https://matura.lol/question/matematyka-2006-maj-matura-rozszerzona/zad/19) — Zadanie 19. (7 pkt) Nieskończony ciąg geometryczny ( ) n a jest zdefiniowany wzorem rekurencyjnym: ), 2 ( log ,2 2 1 1 ⋅ k a a a n n dla każdej liczby naturalne
- [Zadanie 20](https://matura.lol/question/matematyka-2004-styczen-probna-rozszerzona/zad/20) — Zadanie 20. (7 pkt) Różnica ciągu arytmetycznego (an) jest liczbą mniejszą od 1. Wyznacz najmniejszą wartość wyrażenia 50 49 1 a a a ⋅ wiedząc, że 1 51 = a
- [Zadanie 12](https://matura.lol/question/matematyka-2019-maj-matura-rozszerzona/zad/12) — Zadanie 12. (0-6) Trzywyrazowy ciąg ( ) , , a b c o wyrazach dodatnich jest arytmetyczny, natomiast ciąg 1 2 1 , , 3 2 2 a b a b c       jest geometryczny
- [Zadanie 4](https://matura.lol/question/matematyka-2017-maj-matura-stara-rozszerzona/zad/4) — Zadanie 4. (6 pkt) Liczby a, b, c są - odpowiednio - pierwszym, drugim i trzecim wyrazem ciągu arytmetycznego. Suma tych liczb jest równa 27. Ciąg ( ) 2, , 2 1 

_Ostatnia aktualizacja danych: 2026-10-03_