# Matematyka — zadanie 32

> Źródło: matura.lol — https://matura.lol/question/sprawnamatura-matura-sierpie-2016/zad/32
> Wersja Markdown strony zadania (dla asystentów AI). Przy cytowaniu podaj matura.lol i link powyżej.

- arkusz: Matematyka · Matura · 2016 (podstawowa)
- rok: 2016
- poziom: podstawowa
- typ: open
- punkty: 5
- działy: Geometria analityczna

## Treść

Na rysunku przedstawione są dwa wierzchołki trójkąta prostokątnego \(ABC\): \(A=(-3,-3)\) oraz \(C=(2,7)\) oraz prosta o równaniu \(y=\frac{3}{4}x-\frac{3}{4}\), zawierająca przeciwprostokątną \(AB\) tego trójkąta. Oblicz współrzędne wierzchołka \(B\) tego trójkąta i długość odcinka \(AB\).

## Rozwiązanie — sprawnamatura

Krok 1. Sporządzenie rysunku poglądowego.

Do zadania możemy podejść tak naprawdę na dwa sposoby. Pierwszy sposób polegałby na tym, że wyznaczylibyśmy sobie równanie prostej przechodzącej przez punkty \(AC\), a następnie wyznaczylibyśmy równanie prostej prostopadłej (czyli poznalibyśmy wzór prostej \(BC\)). Znając wzór prostej \(BC\) łatwo wyznaczylibyśmy współrzędne punktu \(B\), bo to będzie punkt przecięcia się prostej \(BC\) oraz prostej której wzór jest podany w treści zadania. To jest taki standardowy sposób rozwiązywania tego typu zadań.

My jednak policzymy sobie to nieco sprytniej i zastosujemy tutaj drugi sposób, który wykorzystuje Twierdzenie Pitagorasa.

Krok 2. Obliczenie współrzędnych punktu \(B\) z wykorzystaniem Twierdzenia Pitagorasa.

Do wyznaczenia współrzędnych punktu \(B\) wykorzystamy wzór na długość odcinka w układzie współrzędnych:

$$|AB|=\sqrt{(x_{B}-x_{A})^2+(y_{B}-y_{A})^2}$$

Analogicznie możemy wyznaczyć w ten sposób długości odcinków \(AC\) czy też \(BC\).

Współrzędne punktów \(A\) i \(C\) są nam znane, więc możemy w prosty sposób wyznaczyć długość odcinka \(AC\). Bez znajomości współrzędnych punktu \(B\) nie będziemy w stanie obliczyć natomiast długości odcinków \(AB\) oraz \(BC\), ale przy wykorzystaniu Twierdzenia Pitagorasa będziemy w stanie utworzyć równanie, które pozwoli nam wyznaczyć współrzędne punktu \(B\). Dla przejrzystości obliczeń przyjmijmy, że współrzędne punktu \(B\) to \(x\) oraz \(y\):

$$\require{cancel}

|BC|^2+|AC|^2=|AB|^2 \\

(x-2)^2+(y-7)^2+(2-(-3))^2+(7-(-3))^2=(x-(-3))^2+(y-(-3))^2 \\

(x-2)^2+(y-7)^2+5^2+10^2=(x+3)^2+(y+3)^2 \\

\cancel{x^2}-4x+4+\cancel{y^2}-14y+49+25+100=\cancel{x^2}+6x+9+\cancel{y^2}+6y+9 \\

-4x-14y+178=6x+6y+18 \\

10x+20y=160 \quad\bigg/:10 \\

x+2y=16$$

Tak na marginesie to otrzymaliśmy w ten sposób równanie prostej \(BC\). Gdybyśmy chcieli, to moglibyśmy je jeszcze przekształcić i zapisać w postaci kierunkowej, czyli \(y=-\frac{1}{2}x+8\).

Wracając do otrzymanego równania \(x+2y=16\), to teraz pod wartość \(y\) możemy podstawić równanie prostej na której leży nasz punkt \(B\), czyli \(y=\frac{3}{4}x-\frac{3}{4}\) i otrzymamy:

$$x+2\cdot\left(\frac{3}{4}x-\frac{3}{4}\right)=16 \\

x+\frac{6}{4}x-\frac{6}{4}=16 \quad\bigg/\cdot4 \\

4x+6x-6=64 \\

10x=70 \\

x=7$$

Podstawiając teraz wartość tej współrzędnej do równania prostej z treści zadania wyznaczymy także wartość współrzędnej \(y\):

$$y=\frac{3}{4}\cdot7-\frac{3}{4} \\

y=\frac{21}{4}-\frac{3}{4} \\

y=\frac{18}{4}=4\frac{1}{2}$$

Otrzymaliśmy w ten sposób współrzędne \(B=(7;4\frac{1}{2})\).

Krok 3. Wyznaczenie długości odcinka \(AB\).

Znając współrzędne punktów \(A\) i \(B\) obliczymy długość odcinka \(AB\) z wykorzystaniem wzoru o którym mówiliśmy sobie w drugim kroku:

$$|AB|=\sqrt{(x_{B}-x_{A})^2+(y_{B}-y_{A})^2} \\

|AB|=\sqrt{\left(7-(-3)\right)^2+\left(4\frac{1}{2}-(-3)\right)^2} \\

|AB|=\sqrt{10^2+7\frac{1}{2}^2} \\

|AB|=\sqrt{100+\left(\frac{15}{2}\right)^2} \\

|AB|=\sqrt{\frac{400}{4}+\frac{225}{4}} \\

|AB|=\sqrt{\frac{625}{4}} \\

|AB|=\frac{25}{2}=12\frac{1}{2}$$

![rysunek](https://urqfqczecfbhzvrlsvmp.supabase.co/storage/v1/object/public/task-images/solutions/matura-73.png)

## Odpowiedź

**Odpowiedź:** \(B=\left(7, 4\frac{1}{2}\right)\) oraz \(|AB|=12{,}5\)

_Źródło nieoficjalne._

## Linki

- [dane JSON](https://matura.lol/api/question/sprawnamatura-matura-sierpie-2016/zad/32)
- [otwórz w wyszukiwarce](https://matura.lol/?problem=sprawnamatura-matura-sierpie-2016%2Fzad%2F32)

## Podobne zadania

- [Zadanie 15](https://matura.lol/question/matematyka-2023-czerwiec-matura-stara-rozszerzona/zad/15) — Zadanie 15. (0-7) Okrąg 𝑜1 o środku w punkcie 𝑆1 jest określony równaniem (𝑥-6)2 + (𝑦+ 1)2 = 16. Okrąg 𝑜2 ma środek w punkcie 𝑆2 takim, że 𝑆1𝑆2⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ = [-4, 4
- [Zadanie 13](https://matura.lol/question/sprawnamatura-matura-rozszerzona-czerwiec-2026/zad/13) — W kartezjańskim układzie współrzędnych \((x, y)\) rozważamy wszystkie trójkąty prostokątne \(ABC\), w których \(C = (0, 0)\), wierzchołek \(B\) leży na dodatnie
- [Zadanie 11](https://matura.lol/question/matematyka-2025-czerwiec-matura-rozszerzona/zad/11) — Zadanie 11. (0-6) W kartezjańskim układzie współrzędnych (𝑥, 𝑦) dany jest równoległobok 𝐴𝐵𝐶𝐷 o wierzchołkach 𝐴= (-8, -1) i 𝐷= (-13, 9) oraz środku symetrii 𝑀= (
- [Zadanie 11](https://matura.lol/question/matematyka-2024-czerwiec-matura-rozszerzona/zad/11) — Zadanie 11. (0-6) W kartezjańskim układzie współrzędnych (𝑥, 𝑦) prosta o równaniu 3𝑥+ 𝑦+ 2 = 0 przecina parabolę o równaniu 𝑦= 𝑥2 -2𝑥-8 w punktach 𝐴 oraz 𝐵, któ

_Ostatnia aktualizacja danych: 2026-10-03_