# Matematyka — zadanie 33

> Źródło: matura.lol — https://matura.lol/question/sprawnamatura-matura-sierpie-2016/zad/33
> Wersja Markdown strony zadania (dla asystentów AI). Przy cytowaniu podaj matura.lol i link powyżej.

- arkusz: Matematyka · Matura · 2016 (podstawowa)
- rok: 2016
- poziom: podstawowa
- typ: open
- punkty: 5
- działy: Stereometria

## Treść

Trójkąt równoboczny \(ABC\) jest podstawą ostrosłupa prawidłowego \(ABCS\), w którym ściana boczna jest nachylona do płaszczyzny podstawy pod kątem \(60^\circ \), a krawędź boczna ma długość \(7\) (zobacz rysunek). Oblicz objętość tego ostrosłupa.

## Rozwiązanie — sprawnamatura

Krok 1. Sporządzenie rysunku poglądowego.

Dodatkowo możemy opisać sobie długość boku podstawy jako \(a\), pamiętając w podstawie jest trójkąt równoboczny.

Krok 2. Wyznaczenie długości odcinka \(|DC|\) oraz \(|DO|\).

Odcinek \(|DC|\) jest wysokością trójkąta równobocznego, który znajduje się w podstawie. Jeżeli założyliśmy sobie, że krawędź podstawy ma długość \(a\), to zgodnie ze wzorami wysokość jest takiego trójkąta jest równa \(|DC|=\frac{a\sqrt{3}}{2}\).

Odcinek \(|DO|\) będzie mieć zgodnie z własnościami trójkąta równobocznego długość równą \(\frac{1}{3}\) długości wysokości:

$$|DO|=\frac{1}{3}\cdot|DC|=\frac{1}{3}\cdot\frac{a\sqrt{3}}{2}=\frac{a\sqrt{3}}{6}$$

Krok 3. Wyznaczenie długości odcinka \(DS\).

Spójrzmy na trójkąt \(DOS\).

W tym kroku wyznaczymy długość odcinka \(DS\), który jest jednocześnie wysokością ściany bocznej naszej bryły. Do jego wyznaczenia wykorzystamy funkcję cosinusa:

$$\frac{|DO|}{|DS|}=cos60° \\

\frac{\frac{a\sqrt{3}}{6}}{|DS|}=\frac{1}{2} \\

\frac{a\sqrt{3}}{6}=\frac{1}{2}\cdot|DS| \\

|DS|=\frac{a\sqrt{3}}{3}$$

Krok 4. Obliczenie długości odcinka \(OS\), czyli wysokości ostrosłupa.

Nadal korzystamy z trójkąta \(DOS\) i tym razem wykorzystamy funkcję sinusa:

$$\frac{|OS|}{|DS|}=sin60° \\

\frac{|OS|}{\frac{a\sqrt{3}}{3}}=\frac{\sqrt{3}}{2} \\

|OS|=\frac{\sqrt{3}}{2}\cdot\frac{a\sqrt{3}}{3} \\

|OS|=\frac{3a}{6}=\frac{1}{2}a$$

Krok 5. Obliczenie długości krawędzi podstawy.

Tym razem interesuje nas trójkąt \(BDS\), bo to z niego uda nam się wyznaczyć wartość niewiadomej \(a\), którą oznaczyliśmy długość krawędzi podstawy i która pojawiła nam się już w dotychczasowych obliczeniach.

Długość odcinka \(DS\) obliczyliśmy przed chwilą w trzecim kroku i jest ona równa \(\frac{a\sqrt{3}}{3}\). Długość odcinka \(BS\) jest podana w treści zadania i wynosi \(7\). Brakuje nam jeszcze długości odcinka \(DB\), ale wiedząc, że wysokość trójkąta równoramiennego (a taki mamy w ścianach bocznych) przecina podstawę w połowie jej długości to możemy zapisać, że \(|DB|=\frac{1}{2}a\). Znamy długości wszystkich boków, więc podstawmy te dane do Twierdzenia Pitagorasa.

$$|DB|^2+|DS|^2=|BS|^2 \\

\left(\frac{1}{2}a\right)^2+\left(\frac{a\sqrt{3}}{3}\right)^2=7^2 \\

\frac{1}{4}a^2+\frac{a^2\cdot3}{9}=49 \\

\frac{1}{4}a^2+\frac{1}{3}a^2=49 \quad\bigg/\cdot12 \\

3a^2+4a^2=588 \\

7a^2=588 \\

a^2=84 \\

a=\sqrt{4\cdot21} \\

a=2\sqrt{21}$$

Krok 6. Obliczenie objętości ostrosłupa.

Do obliczenia objętości potrzebujemy znać pole podstawy oraz wysokość bryły.

Pole podstawy wyznaczymy ze wzoru \(P=\frac{a^2\sqrt{3}}{4}\), gdzie \(a=2\sqrt{21}\), zatem:

$$P_{p}=\frac{(2\sqrt{21})^2\sqrt{3}}{4} \\

P_{p}=\frac{4\cdot21\sqrt{3}}{4} \\

P_{p}=21\sqrt{3}$$

Wysokością jest nasz odcinek \(|OS|=\frac{1}{2}a\). Wystarczy więc podstawić \(a=2\sqrt{21}\) i otrzymamy wysokość ostrosłupa.

$$H=\frac{1}{2}\cdot2\sqrt{21}=\sqrt{21}$$

Znając pole podstawy i wysokość obliczymy teraz objętość bryły:

$$V=\frac{1}{3}\cdot P_{p}\cdot H \\

V=\frac{1}{3}\cdot21\sqrt{3}\cdot\sqrt{21} \\

V=7\sqrt{3}\cdot\sqrt{21} \\

V=7\sqrt{3}\cdot\sqrt{3\cdot7} \\

V=7\sqrt{3}\cdot\sqrt{3}\cdot\sqrt{7} \\

V=7\cdot3\cdot\sqrt{7} \\

V=21\sqrt{7}$$

![rysunek](https://urqfqczecfbhzvrlsvmp.supabase.co/storage/v1/object/public/task-images/solutions/matura-74.png)

## Odpowiedź

**Odpowiedź:** \(V=21\sqrt{7}\)

_Źródło nieoficjalne._

## Linki

- [dane JSON](https://matura.lol/api/question/sprawnamatura-matura-sierpie-2016/zad/33)
- [otwórz w wyszukiwarce](https://matura.lol/?problem=sprawnamatura-matura-sierpie-2016%2Fzad%2F33)

## Podobne zadania

- [Zadanie 15](https://matura.lol/question/matematyka-2020-lipiec-matura-rozszerzona/zad/15) — Zadanie 15. (0-7) Rozpatrujemy wszystkie ostrosłupy prawidłowe czworokątne, w których suma promienia okręgu opisanego na podstawie i długości krawędzi bocznej j
- [Zadanie 10](https://matura.lol/question/matematyka-2005-maj-matura-podstawowa/zad/10) — Zadanie 10. (7 pkt) W ostrosłupie czworokątnym prawidłowym wysokości przeciwległych ścian bocznych poprowadzone z wierzchołka ostrosłupa mają długości h i tworz
- [Zadanie 11](https://matura.lol/question/matematyka-2004-styczen-probna-podstawowa/zad/11) — Zadanie 11. (7 pkt) Wyznacz miarę kąta między ścianą boczną i płaszczyzną podstawy ostrosłupa prawidłowego sześciokątnego wiedząc, że pole jego podstawy jest ró
- [Zadanie 10](https://matura.lol/question/matematyka-2023-przykladowy-arkusz-cke-rozszerzona/zad/10) — Zadanie 10. (0-6) Dany jest ostrosłup prawidłowy czworokątny 𝐴𝐵𝐶𝐷𝑆 o podstawie 𝐴𝐵𝐶𝐷 i polu powierzchni bocznej równym 𝑃. Kąt między wysokościami sąsiednich ścia

_Ostatnia aktualizacja danych: 2026-10-03_