# Matematyka — zadanie 29

> Źródło: matura.lol — https://matura.lol/question/sprawnamatura-matura-sierpie-2017/zad/29
> Wersja Markdown strony zadania (dla asystentów AI). Przy cytowaniu podaj matura.lol i link powyżej.

- arkusz: Matematyka · Matura · 2017 (podstawowa)
- rok: 2017
- poziom: podstawowa
- typ: open
- punkty: 2
- działy: Geometria analityczna

## Treść

Dany jest trójkąt prostokątny \(ABC\), w którym \(|\sphericalangle ACB|=90^\circ \) i \(|\sphericalangle ABC|=60^\circ \). Niech \(D\) oznacza punkt wspólny wysokości poprowadzonej z wierzchołka \(C\) kąta prostego i przeciwprostokątnej \(AB\) tego trójkąta. Wykaż, że \(|AD|:|DB|=3:1\).

## Rozwiązanie — sprawnamatura

Krok 1. Sporządzenie rysunku pomocniczego.

Spróbujmy narysować sobie tę sytuację nanosząc na rysunek dane z treści zadania:

Przy okazji możemy od razu zapisać, że skoro jest to trójkąt prostokątny i \(|\sphericalangle ABC|=60°\) to \(|\sphericalangle CAB|=30°\), co ułatwi nam późniejsze obliczenia.

Krok 2. Obliczenie długości odcinka \(|AD|\) (czyli \(x\)).

Spójrzmy na trójkąt prostokątny \(ADC\). Korzystając z funkcji trygonometrycznych możemy zapisać, że:

$$tg30°=\frac{h}{x} \\

\frac{\sqrt{3}}{3}=\frac{h}{x} \\

\frac{\sqrt{3}}{3}x=h \quad\bigg/\cdot\frac{3}{\sqrt{3}} \\

x=\frac{3h}{\sqrt{3}}$$

Krok 3. Obliczenie długości odcinka \(DB\) (czyli \(y\)).

Tym razem spójrzmy na trójkąt \(DBC\). Korzystając z funkcji trygonometrycznych możemy zapisać, że:

$$tg60°=\frac{h}{y} \\

\sqrt{3}=\frac{h}{y} \\

\sqrt{3}y=h \\

y=\frac{h}{\sqrt{3}}$$

Krok 4. Zakończenie dowodzenia.

Już po otrzymanych wynikach widzimy wyraźnie, że odcinek \(AD\) oznaczony jako \(x\) jest trzykrotnie większy od odcinka \(DB\) oznaczonego jako \(y\). Formalnie możemy jeszcze to zapisać w taki sposób:

$$|AD|:|DB|=x:y=\frac{3h}{\sqrt{3}}:\frac{h}{\sqrt{3}}=\frac{3h}{\sqrt{3}}\cdot\frac{\sqrt{3}}{h}=3$$

![rysunek](https://urqfqczecfbhzvrlsvmp.supabase.co/storage/v1/object/public/task-images/solutions/matura-284.png)

## Odpowiedź

**Odpowiedź:** Dowód w rozwiązaniu

_Źródło nieoficjalne._

## Linki

- [dane JSON](https://matura.lol/api/question/sprawnamatura-matura-sierpie-2017/zad/29)
- [otwórz w wyszukiwarce](https://matura.lol/?problem=sprawnamatura-matura-sierpie-2017%2Fzad%2F29)

## Podobne zadania

- [Zadanie 15](https://matura.lol/question/matematyka-2023-czerwiec-matura-stara-rozszerzona/zad/15) — Zadanie 15. (0-7) Okrąg 𝑜1 o środku w punkcie 𝑆1 jest określony równaniem (𝑥-6)2 + (𝑦+ 1)2 = 16. Okrąg 𝑜2 ma środek w punkcie 𝑆2 takim, że 𝑆1𝑆2⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ = [-4, 4
- [Zadanie 13](https://matura.lol/question/sprawnamatura-matura-rozszerzona-czerwiec-2026/zad/13) — W kartezjańskim układzie współrzędnych \((x, y)\) rozważamy wszystkie trójkąty prostokątne \(ABC\), w których \(C = (0, 0)\), wierzchołek \(B\) leży na dodatnie
- [Zadanie 11](https://matura.lol/question/matematyka-2025-czerwiec-matura-rozszerzona/zad/11) — Zadanie 11. (0-6) W kartezjańskim układzie współrzędnych (𝑥, 𝑦) dany jest równoległobok 𝐴𝐵𝐶𝐷 o wierzchołkach 𝐴= (-8, -1) i 𝐷= (-13, 9) oraz środku symetrii 𝑀= (
- [Zadanie 11](https://matura.lol/question/matematyka-2024-czerwiec-matura-rozszerzona/zad/11) — Zadanie 11. (0-6) W kartezjańskim układzie współrzędnych (𝑥, 𝑦) prosta o równaniu 3𝑥+ 𝑦+ 2 = 0 przecina parabolę o równaniu 𝑦= 𝑥2 -2𝑥-8 w punktach 𝐴 oraz 𝐵, któ

_Ostatnia aktualizacja danych: 2026-10-03_