# Matematyka — zadanie 32

> Źródło: matura.lol — https://matura.lol/question/sprawnamatura-matura-sierpie-2017/zad/32
> Wersja Markdown strony zadania (dla asystentów AI). Przy cytowaniu podaj matura.lol i link powyżej.

- arkusz: Matematyka · Matura · 2017 (podstawowa)
- rok: 2017
- poziom: podstawowa
- typ: open
- punkty: 4
- działy: Funkcja kwadratowa

## Treść

Funkcja kwadratowa \(f(x)=ax^2+bx+c\) ma dwa miejsca zerowe \(x_1=-2\) i \(x_2=6\). Wykres funkcji \(f\) przechodzi przez punkt \(A=(1,-5)\). Oblicz najmniejszą wartość funkcji \(f\).

## Rozwiązanie — sprawnamatura

Krok 1. Zapisanie wzoru funkcji w postaci iloczynowej.

Znając miejsca zerowe funkcji możemy zapisać ją w postaci iloczynowej:

$$f(x)=a(x-x_{1})(x-x_{2}) \\

f(x)=a(x-(-2))(x-6) \\

f(x)=a(x+2)(x-6)$$

Krok 2. Wyznaczenie współczynnika kierunkowego \(a\).

W postaci iloczynowej brakuje nam jeszcze tylko znajomości współczynnika kierunkowego \(a\). Obliczymy go podstawiając do wyznaczonej postaci współrzędne punktu \(A=(1,-5)\). Wtedy:

$$-5=a(1+2)(1-6) \\

-5=a\cdot3\cdot(-5) \\

-5=-15a \\

a=\frac{1}{3}$$

To oznacza, że nasza funkcja w postaci iloczynowej przyjmuje wzór: \(f(x)=\frac{1}{3}(x+2)(x-6)\).

Krok 3. Wyznaczenie współrzędnej iksowej wierzchołka paraboli (czyli współrzędnej \(p\)).

Nasza funkcja ma współczynnik kierunkowy równy \(a=\frac{1}{3}\), a to oznacza, że ramiona paraboli będą skierowane do góry. To z kolei prowadzi nas do wniosku, że minimalną wartość funkcja osiągnie w swoim wierzchołku. Znając dwa miejsca zerowe możemy bez problemu wyznaczyć współrzędną iksową wierzchołka paraboli, bowiem wierzchołek jest zawsze pośrodku tych miejsc zerowych. Zatem:

$$p=\frac{x_{1}+x_{2}}{2} \\

p=\frac{-2+6}{2} \\

p=\frac{4}{2} \\

p=2$$

Krok 4. Obliczenie najmniejszej wartości funkcji.

Wiemy już, że funkcja przyjmuje najmniejszą wartość w wierzchołku i wiemy że osiąga ten wierzchołek dla \(x=2\). W związku z tym możemy podstawić \(x=2\) do wzoru funkcji, który wyznaczyliśmy w drugim kroku i otrzymamy poszukiwaną najmniejszą wartość funkcji:

$$f(x)=\frac{1}{3}(x+2)(x-6) \\

f(2)=\frac{1}{3}(2+2)(2-6) \\

f(2)=\frac{1}{3}\cdot4\cdot(-4) \\

f(2)=\frac{1}{3}\cdot(-16) \\

f(2)=-\frac{16}{3}$$

## Odpowiedź

**Odpowiedź:** \(-\frac{16}{3}\)

_Źródło nieoficjalne._

## Linki

- [dane JSON](https://matura.lol/api/question/sprawnamatura-matura-sierpie-2017/zad/32)
- [otwórz w wyszukiwarce](https://matura.lol/?problem=sprawnamatura-matura-sierpie-2017%2Fzad%2F32)

## Podobne zadania

- [Zadanie 33](https://matura.lol/question/sprawnamatura-cke-2025-pp/zad/33) — Na podstawie zasad dynamiki można udowodnić, że torem rzutu - przy pominięciu oporów powietrza - jest fragment paraboli. Koszykarz wykonał rzut do kosza z odleg
- [Zadanie 35](https://matura.lol/question/matematyka-2022-maj-matura-podstawowa/zad/35) — Zadanie 35. (0-5) Wykres funkcji kwadratowej 𝑓 określonej wzorem 𝑓(𝑥) = 𝑎𝑥2 + 𝑏𝑥+ 𝑐 ma z prostą o równaniu 𝑦= 6 dokładnie jeden punkt wspólny. Punkty 𝐴= (-5, 0)
- [Zadanie 35](https://matura.lol/question/matematyka-2021-maj-matura-podstawowa/zad/35) — Zadanie 35. (0-5) (32) Punkty 𝐴= (-20, 12) i 𝐵= (7, 3) są wierzchołkami trójkąta równoramiennego 𝐴𝐵𝐶, w którym |𝐴𝐶| = |𝐵𝐶|. Wierzchołek 𝐶 leży na osi 𝑂𝑦 układu 
- [Zadanie 32](https://matura.lol/question/sprawnamatura-matura-maj-2018/zad/32) — W układzie współrzędnych punkty \(A = (4,3)\) i \(B = (10, 5)\) są wierzchołkami trójkąta \(ABC\). Wierzchołek \(C\) leży na prostej o równaniu \(y = 2x + 3\). 

_Ostatnia aktualizacja danych: 2026-10-03_