# Matematyka — zadanie 34

> Źródło: matura.lol — https://matura.lol/question/sprawnamatura-matura-sierpie-2017/zad/34
> Wersja Markdown strony zadania (dla asystentów AI). Przy cytowaniu podaj matura.lol i link powyżej.

- arkusz: Matematyka · Matura · 2017 (podstawowa)
- rok: 2017
- poziom: podstawowa
- typ: open
- punkty: 5
- działy: Stereometria

## Treść

Podstawą graniastosłupa prostego \(ABCDEF\) jest trójkąt prostokątny \(ABC\), w którym \(|\sphericalangle ACB=90^\circ |\) (zobacz rysunek). Stosunek długości przyprostokątnej \(AC\) tego trójkąta do długości przyprostokątnej \(BC\) jest równy \(4:3\). Punkt \(S\) jest środkiem okręgu opisanego na trójkącie \(ABC\), a długość odcinka \(SC\) jest równa \(5\). Pole ściany bocznej \(BEFC\) graniastosłupa jest równe \(48\). Oblicz objętość tego graniastosłupa.

## Rozwiązanie — sprawnamatura

Krok 1. Obliczenie długości boku \(AB\).

Skoro trójkąt \(ABC\) jest prostokątny i na nim jest opisany okrąg, to znaczy że przeciwprostokątna tego trójkąta (czyli właśnie bok \(AB\)) jest równy średnicy tego okręgu. Wynika to z własności okręgów opisanych na trójkątach prostokątnych. Z treści zadania wiemy, że promień okręgu jest równy \(r=5\) (bo odcinek \(SC\) jest promieniem), zatem średnica okręgu, czyli odcinek \(AB\) będzie równy:

$$|AB|=2\cdot5 \\

|AB|=10$$

Krok 2. Obliczenie długości boków \(AC\) oraz \(BC\).

Skoro stosunek boków \(AC\) do \(BC\) jest równy \(4:3\), to możemy zapisać, że \(|AC|=4x\), natomiast \(|BC|=3x\). Wartość niewiadomej \(x\) obliczymy teraz z Twierdzenia Pitagorasa w trójkącie \(ABC\):

$$|AC|^2+|BC|^2=|AB|^2 \\

(4x)^2+(3x)^2=10^2 \\

16x^2+9x^2=100 \\

25x^2=100 \\

x^2=4 \\

x=2 \quad\lor\quad x=-2$$

Ujemną długość oczywiście odrzucamy, bo bok nie może mieć ujemnej wartości, zatem zostaje nam \(x=2\). Zgodnie z naszymi oznaczeniami zapisaliśmy długości boków \(AC\) oraz \(BC\) jako \(4x\) oraz \(3x\), czyli:

$$|AC|=4x \\

|AC|=4\cdot2 \\

|AC|=8 \\

\quad \\

|BC|=3x \\

|BC|=3\cdot2 \\

|BC|=6$$

Krok 3. Obliczenie wysokości graniastosłupa.

Spójrzmy na prostokąt \(BEFC\). Wiemy, że jego pole jest równe \(48\) i wiemy też, że dolny bok tego prostokąta (czyli bok \(BC\)) ma długość \(6\). To oznacza, że wysokość tego prostokąta (czyli wysokość całego graniastosłupa) jest równa:

$$P=|BC|\cdot|BE| \\

48=6\cdot|BE| \\

|BE|=8$$

Krok 4. Obliczenie objętości graniastosłupa.

W podstawie graniastosłupa mamy trójkąt o przyprostokątnych \(6\) oraz \(8\), czyli bez przeszkód obliczymy pole podstawy. Dodatkowo wiemy już, że wysokość graniastosłupa jest równa \(8\), zatem możemy przejść do obliczenia objętości tej bryły:

$$V=P_{p}\cdot H \\

V=\frac{1}{2}\cdot8\cdot6\cdot8 \\

V=192$$

## Odpowiedź

**Odpowiedź:** \(V=192\)

_Źródło nieoficjalne._

## Linki

- [dane JSON](https://matura.lol/api/question/sprawnamatura-matura-sierpie-2017/zad/34)
- [otwórz w wyszukiwarce](https://matura.lol/?problem=sprawnamatura-matura-sierpie-2017%2Fzad%2F34)

## Podobne zadania

- [Zadanie 15](https://matura.lol/question/matematyka-2020-lipiec-matura-rozszerzona/zad/15) — Zadanie 15. (0-7) Rozpatrujemy wszystkie ostrosłupy prawidłowe czworokątne, w których suma promienia okręgu opisanego na podstawie i długości krawędzi bocznej j
- [Zadanie 10](https://matura.lol/question/matematyka-2005-maj-matura-podstawowa/zad/10) — Zadanie 10. (7 pkt) W ostrosłupie czworokątnym prawidłowym wysokości przeciwległych ścian bocznych poprowadzone z wierzchołka ostrosłupa mają długości h i tworz
- [Zadanie 11](https://matura.lol/question/matematyka-2004-styczen-probna-podstawowa/zad/11) — Zadanie 11. (7 pkt) Wyznacz miarę kąta między ścianą boczną i płaszczyzną podstawy ostrosłupa prawidłowego sześciokątnego wiedząc, że pole jego podstawy jest ró
- [Zadanie 10](https://matura.lol/question/matematyka-2023-przykladowy-arkusz-cke-rozszerzona/zad/10) — Zadanie 10. (0-6) Dany jest ostrosłup prawidłowy czworokątny 𝐴𝐵𝐶𝐷𝑆 o podstawie 𝐴𝐵𝐶𝐷 i polu powierzchni bocznej równym 𝑃. Kąt między wysokościami sąsiednich ścia

_Ostatnia aktualizacja danych: 2026-10-03_