# Matematyka — zadanie 29

> Źródło: matura.lol — https://matura.lol/question/sprawnamatura-matura-sierpie-2018/zad/29
> Wersja Markdown strony zadania (dla asystentów AI). Przy cytowaniu podaj matura.lol i link powyżej.

- arkusz: Matematyka · Matura · 2018 (podstawowa)
- rok: 2018
- poziom: podstawowa
- typ: open
- punkty: 2
- działy: Liczby rzeczywiste

## Treść

Wykaż, że jeżeli \(a\) i \(b\) są liczbami rzeczywistymi dodatnimi, to \((a + b)\biggl(\frac{1}{a} + \frac{1}{b}\biggl) \ge 4\).

## Rozwiązanie — sprawnamatura

Skoro \(a\) oraz \(b\) są liczbami dodatnimi, to możemy być pewni że dzieląc lub mnożąc obie strony nierówności przez te niewiadome nie będziemy musieli zmieniać znaku nierówności na przeciwny. W związku z tym możemy zacząć przekształcać naszą nierówność. Najlepiej będzie zacząć od wymnożenia wartości w nawiasach:

$$(a+b)\left(\frac{1}{a}+\frac{1}{b}\right)\ge4 \\

1+\frac{a}{b}+\frac{b}{a}+1\ge4 \\

\frac{a}{b}+\frac{b}{a}\ge2 \quad\bigg/\cdot b \\

a+\frac{b^2}{a}\ge2b \quad\bigg/\cdot a \\

a^2+b^2\ge2ab \\

a^2-2ab+b^2\ge0 \\

(a-b)^2\ge0$$

Z racji tego, iż każda liczba rzeczywista podniesiona do kwadratu daje wynik dodatni, to dowodzenie możemy uznać za zakończone.

## Odpowiedź

**Odpowiedź:** Dowód w rozwiązaniu

_Źródło nieoficjalne._

## Linki

- [dane JSON](https://matura.lol/api/question/sprawnamatura-matura-sierpie-2018/zad/29)
- [otwórz w wyszukiwarce](https://matura.lol/?problem=sprawnamatura-matura-sierpie-2018%2Fzad%2F29)

## Podobne zadania

- [Zadanie 17](https://matura.lol/question/matematyka-2005-maj-matura-rozszerzona/zad/17) — Zadanie 17. (7 pkt) Wykaż, bez użycia kalkulatora i tablic, że 3 3 7 2 5 7 2 5 jest liczbą całkowitą. 10 Arkusz II Wykaż, bez użycia kalkulatora i tablic, że na
- [Zadanie 10](https://matura.lol/question/matematyka-2006-listopad-probna-podstawowa/zad/10) — Zadanie 10. (6 pkt) Dane są zbiory: { } : 5 3 A x R x ∈ ≥ , { } 2 : 9 0 B x R x ∈ ≥ i 1 : 1 1 x C x R x ⎧ ⎫ ∈ ≤ ⎨ ⎬ ⎩ ⎭ a) Zaznacz na osi liczbowej zbiory B A, 
- [Zadanie 34](https://matura.lol/question/sprawnamatura-matura-pr-bna-luty-2014/zad/34) — Wykwalifikowany robotnik pracując sam, wykonałby pracę w czasie krótszym o \(10\) dni od pracownika niewykwalifikowanego. Aby pracę wykonać szybciej, powierzono
- [Zadanie 33](https://matura.lol/question/matematyka-2013-czerwiec-matura-podstawowa/zad/33) — Zadanie 33. (5 pkt) Grupa znajomych wykupiła wspólnie dostęp do Internetu na okres jednego roku. Opłata miesięczna wynosiła 120 złotych. Podzielono tę kwotę na 

_Ostatnia aktualizacja danych: 2026-10-03_