# Matematyka — zadanie 30

> Źródło: matura.lol — https://matura.lol/question/sprawnamatura-matura-sierpie-2018/zad/30
> Wersja Markdown strony zadania (dla asystentów AI). Przy cytowaniu podaj matura.lol i link powyżej.

- arkusz: Matematyka · Matura · 2018 (podstawowa)
- rok: 2018
- poziom: podstawowa
- typ: open
- punkty: 2
- działy: Ciągi

## Treść

Dziewiąty wyraz ciągu arytmetycznego \((a_n)\), określonego dla \(n \ge 1\), jest równy \(34\), a suma jego ośmiu początkowych wyrazów jest równa \(110\). Oblicz pierwszy wyraz i różnicę tego ciągu.

## Rozwiązanie — sprawnamatura

Krok 1. Ułożenie układu równań

Korzystając ze wzoru ogólnego na \(n\)-ty wyraz ciągu arytmetycznego \(a_{n}=a_{1}+(n-1)r\) możemy zapisać, że:

$$a_{9}=a_{1}+8r \\

a_{1}+8r=34$$

To będzie nasze pierwsze równanie z którego zbudujemy układ równań. Drugie równanie będzie wynikać z informacji na temat sumy ośmiu początkowych wyrazów:

$$S_{n}=\frac{a_{1}+a_{n}}{2}\cdot n \\

S_{8}=\frac{a_{1}+a_{8}}{2}\cdot8 \\

110=\frac{a_{1}+a_{8}}{2}\cdot8 \\

110=(a_{1}+a_{8})\cdot4 \quad\bigg/:4 \\

a_{1}+a_{8}=27,5 \\

a_{1}+a_{1}+7r=27,5 \\

2a_{1}+7r=27,5$$

To oznacza, że możemy stworzyć następujący układ równań:

$$\begin{cases}

a_{1}+8r=34 \\

2a_{1}+7r=27,5

\end{cases}$$

Krok 2. Rozwiązanie powstałego układu równań i wyznaczenie różnicy ciągu arytmetycznego.

Najprościej będzie zastosować tutaj metodę podstawiania, wyznaczając wartość \(a_{1}\) z pierwszego równania:

$$\begin{cases}

a_{1}=34-8r \\

2a_{1}+7r=27,5

\end{cases}$$

Podstawiając teraz pierwsze równanie do drugiego otrzymamy:

$$2\cdot(34-8r)+7r=27,5 \\

68-16r+7r=27,5 \\

68-9r=27,5 \\

-9r=-40,5 \\

r=4,5$$

Krok 3. Obliczenie wartości pierwszego wyrazu.

Znając wartość \(r=4,5\) możemy obliczyć wartość pierwszego wyrazu, podstawiając wyliczoną różnicę do jednego z wyznaczonych równań:

$$a_{1}=34-8r \\

a_{1}=34-8\cdot4,5 \\

a_{1}=34-36 \\

a_{1}=-2$$

To oznacza, że \(a_{1}=-2\) oraz \(r=4,5\).

## Odpowiedź

**Odpowiedź:** \(a_1 = -2\), \(r = 4\frac{1}{2}\)

_Źródło nieoficjalne._

## Linki

- [dane JSON](https://matura.lol/api/question/sprawnamatura-matura-sierpie-2018/zad/30)
- [otwórz w wyszukiwarce](https://matura.lol/?problem=sprawnamatura-matura-sierpie-2018%2Fzad%2F30)

## Podobne zadania

- [Zadanie 19](https://matura.lol/question/matematyka-2006-maj-matura-rozszerzona/zad/19) — Zadanie 19. (7 pkt) Nieskończony ciąg geometryczny ( ) n a jest zdefiniowany wzorem rekurencyjnym: ), 2 ( log ,2 2 1 1 ⋅ k a a a n n dla każdej liczby naturalne
- [Zadanie 20](https://matura.lol/question/matematyka-2004-styczen-probna-rozszerzona/zad/20) — Zadanie 20. (7 pkt) Różnica ciągu arytmetycznego (an) jest liczbą mniejszą od 1. Wyznacz najmniejszą wartość wyrażenia 50 49 1 a a a ⋅ wiedząc, że 1 51 = a
- [Zadanie 12](https://matura.lol/question/matematyka-2019-maj-matura-rozszerzona/zad/12) — Zadanie 12. (0-6) Trzywyrazowy ciąg ( ) , , a b c o wyrazach dodatnich jest arytmetyczny, natomiast ciąg 1 2 1 , , 3 2 2 a b a b c       jest geometryczny
- [Zadanie 4](https://matura.lol/question/matematyka-2017-maj-matura-stara-rozszerzona/zad/4) — Zadanie 4. (6 pkt) Liczby a, b, c są - odpowiednio - pierwszym, drugim i trzecim wyrazem ciągu arytmetycznego. Suma tych liczb jest równa 27. Ciąg ( ) 2, , 2 1 

_Ostatnia aktualizacja danych: 2026-10-03_