# Matematyka — zadanie 31

> Źródło: matura.lol — https://matura.lol/question/sprawnamatura-matura-sierpie-2018/zad/31
> Wersja Markdown strony zadania (dla asystentów AI). Przy cytowaniu podaj matura.lol i link powyżej.

- arkusz: Matematyka · Matura · 2018 (podstawowa)
- rok: 2018
- poziom: podstawowa
- typ: open
- punkty: 2
- działy: Geometria analityczna

## Treść

Punkty \(A = (2, 4)\), \(B = (0, 0)\), \(C = (4, -2)\) są wierzchołkami trójkąta \(ABC\). Punkt \(D\) jest środkiem boku \(AC\) tego trójkąta. Wyznacz równanie prostej \(BD\).

## Rozwiązanie — sprawnamatura

Krok 1. Sporządzenie rysunku pomocniczego.

Spróbujmy narysować układ współrzędnych na którym zaznaczymy znane nam punkty i na którym poprowadzimy prostą \(BD\), której równania szukamy:

![rysunek](https://urqfqczecfbhzvrlsvmp.supabase.co/storage/v1/object/public/task-images/solutions/matura-321.png)

Krok 2. Obliczenie współrzędnych punktu \(D\).

Punkt \(D\) jest środkiem odcinka \(AC\). Znając współrzędne punktu \(A\) oraz \(C\) możemy bez przeszkód wyznaczyć współrzędne punktu \(D\), korzystając ze wzoru:

$$D=\left(\frac{x_{A}+x_{C}}{2};\frac{y_{A}+y_{C}}{2}\right)$$

Dla przejrzystości obliczeń wyznaczny każdą ze współrzędnych oddzielnie:

$$x_{D}=\frac{x_{A}+x_{C}}{2} \\

x_{D}=\frac{2+4}{2} \\

x_{D}=\frac{6}{2} \\

x_{D}=3 \\

\quad \\

y_{D}=\frac{y_{A}+y_{C}}{2} \\

y_{D}=\frac{4+(-2)}{2} \\

y_{D}=\frac{4-2}{2} \\

y_{D}=\frac{2}{2} \\

y_{D}=1$$

To oznacza, że \(D=(3;1)\).

Krok 3. Wyznaczenie równania prostej \(BD\).

Skoro znamy współrzędne punktów \(B\) oraz \(D\) to możemy teraz wyznaczyć równanie prostej przechodzącej przez te dwa punkty. Możemy to zrobić budując układ równań (podstawiając współrzędne punktu \(B\) oraz \(D\) do postaci \(y=ax+b\) uzyskamy dwa równania tworzące układ równań), albo też możemy skorzystać ze wzoru dostępnego w tablicach, czyli:

$$(y-y_{B})(x_{D}-x_{B})-(y_{D}-y_{B})(x-x_{B})=0$$

Metoda z układem równań wydaje się być w tym przypadku znacznie szybsza, zatem:

$$\begin{cases}

0=0+b \\

1=3a+b \\

\end{cases}$$

$$\begin{cases}

b=0 \\

1=3a+b

\end{cases}$$

Już z pierwszego równania wyszło nam samoistnie, że \(b=0\), co jest dobrą informacją, bo przecież współczynnik \(b\) informuje nas o miejscu przecięcia się prostej z osią igreków, a u nas prosta przechodzi przez początek układu współrzędnych. Znamy więc już wartość współczynnika \(b\), teraz musimy wyznaczyć współczynnik \(a\). Zrobimy to podstawiając po prostu \(b=0\) do drugiego równania:

$$1=3a+b \\

1=3a+0 \\

a=\frac{1}{3}$$

W związku z tym prosta \(BD\) wyraża się wzorem \(y=\frac{1}{3}x+0\), czyli po prostu \(y=\frac{1}{3}x\).

## Odpowiedź

**Odpowiedź:** \(y = \frac{1}{3}x\)

_Źródło nieoficjalne._

## Linki

- [dane JSON](https://matura.lol/api/question/sprawnamatura-matura-sierpie-2018/zad/31)
- [otwórz w wyszukiwarce](https://matura.lol/?problem=sprawnamatura-matura-sierpie-2018%2Fzad%2F31)

## Podobne zadania

- [Zadanie 15](https://matura.lol/question/matematyka-2023-czerwiec-matura-stara-rozszerzona/zad/15) — Zadanie 15. (0-7) Okrąg 𝑜1 o środku w punkcie 𝑆1 jest określony równaniem (𝑥-6)2 + (𝑦+ 1)2 = 16. Okrąg 𝑜2 ma środek w punkcie 𝑆2 takim, że 𝑆1𝑆2⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ = [-4, 4
- [Zadanie 13](https://matura.lol/question/sprawnamatura-matura-rozszerzona-czerwiec-2026/zad/13) — W kartezjańskim układzie współrzędnych \((x, y)\) rozważamy wszystkie trójkąty prostokątne \(ABC\), w których \(C = (0, 0)\), wierzchołek \(B\) leży na dodatnie
- [Zadanie 11](https://matura.lol/question/matematyka-2025-czerwiec-matura-rozszerzona/zad/11) — Zadanie 11. (0-6) W kartezjańskim układzie współrzędnych (𝑥, 𝑦) dany jest równoległobok 𝐴𝐵𝐶𝐷 o wierzchołkach 𝐴= (-8, -1) i 𝐷= (-13, 9) oraz środku symetrii 𝑀= (
- [Zadanie 11](https://matura.lol/question/matematyka-2024-czerwiec-matura-rozszerzona/zad/11) — Zadanie 11. (0-6) W kartezjańskim układzie współrzędnych (𝑥, 𝑦) prosta o równaniu 3𝑥+ 𝑦+ 2 = 0 przecina parabolę o równaniu 𝑦= 𝑥2 -2𝑥-8 w punktach 𝐴 oraz 𝐵, któ

_Ostatnia aktualizacja danych: 2026-10-03_