# Matematyka — zadanie 32

> Źródło: matura.lol — https://matura.lol/question/sprawnamatura-matura-sierpie-2018/zad/32
> Wersja Markdown strony zadania (dla asystentów AI). Przy cytowaniu podaj matura.lol i link powyżej.

- arkusz: Matematyka · Matura · 2018 (podstawowa)
- rok: 2018
- poziom: podstawowa
- typ: open
- punkty: 5
- działy: Stereometria

## Treść

W ostrosłupie prawidłowym trójkątnym \(ABCS\) krawędź podstawy ma długość \(a\). Pole powierzchni bocznej tego ostrosłupa jest dwa razy większe od pola jego podstawy. Oblicz cosinus kąta nachylenia krawędzi bocznej tego ostrosłupa do płaszczyzny jego podstawy.

## Rozwiązanie — sprawnamatura

Krok 1. Sporządzenie rysunku pomocniczego.

Narysujmy sobie nasz ostrosłup i wprowadźmy proste oznaczenia, pamiętając o tym że skoro jest to ostrosłup prawidłowy trójkątny, to w podstawie musi znaleźć się trójkąt równoboczny:

Musimy obliczyć cosinus kąta \(α\), czyli:

$$cosα=\frac{|OC|}{|SC|}$$

To oznacza, że będziemy chcieli poznać długości odcinków \(OC\) oraz \(SC\). Długości jako takich na pewno nie poznamy, bo w zadaniu nie występują konkretne liczby, dlatego będziemy musieli operować na wyrażeniach algebraicznych i powiązaniach poszczególnych długości z długością \(a\). Na tym tak naprawdę polegać będzie cała trudność tego zadania.

Krok 2. Obliczenie długości odcinka \(OC\).

Odcinek \(OC\) stanowi \(\frac{2}{3}\) długości wysokości trójkąta równobocznego znajdującego się w podstawie (wynika to z własności ostrosłupów prawidłowych trójkątnych). Korzystając ze wzoru na wysokość trójkąta równobocznego możemy zapisać, że:

$$|OC|=\frac{2}{3}\cdot h \\

|OC|=\frac{2}{3}\cdot\frac{a\sqrt{3}}{2} \\

|OC|=\frac{2}{3}\cdot\frac{a\sqrt{3}}{2} \\

|OC|=\frac{2a\sqrt{3}}{6} \\

|OC|=\frac{a\sqrt{3}}{3}$$

Krok 3. Obliczenie długości odcinka \(DS\).

Odcinek \(DS\) (wysokość ściany bocznej oznaczona jako \(h\)) przyda nam się do obliczenia długości krawędzi bocznej, czyli boku \(SC\). Z treści zadania wynika, że pole powierzchni bocznej jest dwa razy większe od pola podstawy. W związku z tym:

$$P_{b}=2P_{p} \\

P_{b}=2\cdot\frac{a^2\sqrt{3}}{4} \\

P_{b}=\frac{a^2\sqrt{3}}{2}$$

Pole powierzchni bocznej to pole trzech trójkątów równoramiennych, każdy o boku \(a\) oraz wysokości \(h\), zatem:

$$P_{b}=3\cdot\frac{1}{2}\cdot a\cdot h \\

P_{b}=\frac{3}{2}\cdot a\cdot h$$

Przyrównując teraz do siebie te dwa wyznaczone równania otrzymamy:

$$\frac{3}{2}\cdot a\cdot h=\frac{a^2\sqrt{3}}{2} \quad\bigg/\cdot2 \\

3a\cdot h=a^2\sqrt{3} \quad\bigg/:3a \\

h=\frac{a^2\sqrt{3}}{3a} \\

h=\frac{a\sqrt{3}}{3}$$

W związku z tym: \(|DS|=\frac{a\sqrt{3}}{3}\).

Krok 4. Obliczenie długości odcinka \(SC\).

Spójrzmy na trójkąt \(DCS\). Długość kluczowego odcinka \(SC\) (oznaczonego na rysunku jako \(b\)) obliczymy korzystając z Twierdzenia Pitagorasa. Odcinek \(DC\) będący dolną przyprostokątną tego trójkąta ma długość \(\frac{1}{2}a\) (bo wysokość w trójkącie równobocznym dzieli podstawę na dwie równe części). Odcinek \(DS\) który jest drugą przyprostokątną wyliczyliśmy przed chwilą i wiemy że \(DS=\frac{a\sqrt{3}}{3}\), zatem:

$$|DC|^2+|DS|^2=|SC|^2 \\

\left(\frac{1}{2}a\right)^2+\left(\frac{a\sqrt{3}}{3}\right)^2=b^2 \\

\frac{1}{4}a^2+\frac{a^2\cdot3}{9}=b^2 \\

\frac{a^2}{4}+\frac{a^2}{3}=b^2 \\

\frac{3a^2}{12}+\frac{4a^2}{12}=b^2 \\

\frac{7a^2}{12}=b^2 \\

b=\sqrt{\frac{7a^2}{12}} \\

b=\frac{\sqrt{7a^2}}{\sqrt{12}} \\

b=\frac{\sqrt{7}a}{\sqrt{4\cdot3}} \\

b=\frac{\sqrt{7}a}{2\sqrt{3}} \\

b=\frac{\sqrt{7}a\cdot\sqrt{3}}{2\sqrt{3}\cdot\sqrt{3}} \\

b=\frac{\sqrt{21}a}{2\cdot3} \\

b=\frac{\sqrt{21}a}{6}$$

To oznacza, że krawędź boczna ma długość \(|SC|=\frac{\sqrt{21}a}{6}\).

Krok 5. Obliczenie wartości \(cosα\).

Mamy już wszystkie potrzebne dane, zatem możemy zapisać, że:

$$cosα=\frac{|OC|}{|SC|} \\

cosα=\frac{\frac{a\sqrt{3}}{3}}{\frac{\sqrt{21}a}{6}} \\

cosα=\frac{a\sqrt{3}}{3}:\frac{\sqrt{21}a}{6} \\

cosα=\frac{a\sqrt{3}}{3}\cdot\frac{6}{\sqrt{21}a} \\

cosα=\frac{6a\sqrt{3}}{3\sqrt{21}a} \\

cosα=\frac{2a\sqrt{3}}{\sqrt{21}a} \\

cosα=\frac{2a\sqrt{3}}{\sqrt{7}\cdot\sqrt{3}\cdot a} \\

cosα=\frac{2}{\sqrt{7}} \\

cosα=\frac{2\cdot\sqrt{7}}{\sqrt{7}\cdot\sqrt{7}} \\

cosα=\frac{2\sqrt{7}}{7}$$

![rysunek](https://urqfqczecfbhzvrlsvmp.supabase.co/storage/v1/object/public/task-images/solutions/matura-322.png)

## Odpowiedź

**Odpowiedź:** \(\cos \alpha = \frac{2\sqrt{7}}{7}\)

_Źródło nieoficjalne._

## Linki

- [dane JSON](https://matura.lol/api/question/sprawnamatura-matura-sierpie-2018/zad/32)
- [otwórz w wyszukiwarce](https://matura.lol/?problem=sprawnamatura-matura-sierpie-2018%2Fzad%2F32)

## Podobne zadania

- [Zadanie 15](https://matura.lol/question/matematyka-2020-lipiec-matura-rozszerzona/zad/15) — Zadanie 15. (0-7) Rozpatrujemy wszystkie ostrosłupy prawidłowe czworokątne, w których suma promienia okręgu opisanego na podstawie i długości krawędzi bocznej j
- [Zadanie 10](https://matura.lol/question/matematyka-2005-maj-matura-podstawowa/zad/10) — Zadanie 10. (7 pkt) W ostrosłupie czworokątnym prawidłowym wysokości przeciwległych ścian bocznych poprowadzone z wierzchołka ostrosłupa mają długości h i tworz
- [Zadanie 11](https://matura.lol/question/matematyka-2004-styczen-probna-podstawowa/zad/11) — Zadanie 11. (7 pkt) Wyznacz miarę kąta między ścianą boczną i płaszczyzną podstawy ostrosłupa prawidłowego sześciokątnego wiedząc, że pole jego podstawy jest ró
- [Zadanie 10](https://matura.lol/question/matematyka-2023-przykladowy-arkusz-cke-rozszerzona/zad/10) — Zadanie 10. (0-6) Dany jest ostrosłup prawidłowy czworokątny 𝐴𝐵𝐶𝐷𝑆 o podstawie 𝐴𝐵𝐶𝐷 i polu powierzchni bocznej równym 𝑃. Kąt między wysokościami sąsiednich ścia

_Ostatnia aktualizacja danych: 2026-10-03_