# Matematyka — zadanie 34

> Źródło: matura.lol — https://matura.lol/question/sprawnamatura-matura-sierpie-2018/zad/34
> Wersja Markdown strony zadania (dla asystentów AI). Przy cytowaniu podaj matura.lol i link powyżej.

- arkusz: Matematyka · Matura · 2018 (podstawowa)
- rok: 2018
- poziom: podstawowa
- typ: open
- punkty: 4
- działy: Planimetria

## Treść

W trójkącie prostokątnym \(ACB\) przyprostokątna \(AC\) ma długość \(5\), a promień okręgu wpisanego w ten trójkąt jest równy \(2\). Oblicz pole trójkąta \(ACB\).

## Rozwiązanie — sprawnamatura

Krok 1. Sporządzenie rysunku pomocniczego.

Boki trójkąta są tak naprawdę stycznymi do okręgu, zatem wykorzystując własności stycznych do okręgu możemy stworzyć taki oto rysunek pomocniczy:

![rysunek](https://urqfqczecfbhzvrlsvmp.supabase.co/storage/v1/object/public/task-images/solutions/matura-323.png)

Krok 2. Obliczenie wartości niewiadomej \(x\).

Skoro jest to trójkąt prostokątny, to możemy skorzystać z Twierdzenia Pitagorasa:

$$|AB|^2+|AC|^2=|BC|^2 \\

(2+x)^2+5^2=(3+x)^2 \\

4+4x+x^2+25=9+6x+x^2 \quad\bigg/-x^2 \\

4+4x+25=9+6x \\

4x+29=9+6x \\

-2x+29=9 \\

-2x=-20 \\

x=10$$

Krok 3. Obliczenie długości boku \(AB\).

Skoro \(x=10\), to znaczy że:

$$|AB|=2+x \\

|AB|=2+10 \\

|AB|=12$$

Krok 4. Obliczenie pola powierzchni trójkąta.

Wiemy już, że podstawa trójkąta ma długość \(12\) i wysokość \(5\), zatem:

$$P=\frac{1}{2}ah \\

P=\frac{1}{2}\cdot12\cdot5 \\

P=6\cdot5 \\

P=30$$

## Odpowiedź

**Odpowiedź:** \(P = 30\)

_Źródło nieoficjalne._

## Linki

- [dane JSON](https://matura.lol/api/question/sprawnamatura-matura-sierpie-2018/zad/34)
- [otwórz w wyszukiwarce](https://matura.lol/?problem=sprawnamatura-matura-sierpie-2018%2Fzad%2F34)

## Podobne zadania

- [Zadanie 19](https://matura.lol/question/matematyka-2002-maj-matura-rozszerzona/zad/19) — Zadanie 19. (10 pkt) W trójkącie jeden z kątów ma miarę ° 120 . Długości boków tego trójkąta są kolejnymi wyrazami ciągu arytmetycznego, którego suma wynosi 30.
- [Zadanie 10](https://matura.lol/question/matematyka-2006-styczen-probna-podstawowa/zad/10) — W trapezie opisanym na okręgu kąty przy dłuższej podstawie mają miary \(60^{\circ}\) i \(30^{\circ}\), a długość wysokości tego trapezu jest równa 6. Sporządź o
- [Zadanie 18](https://matura.lol/question/matematyka-2005-grudzien-probna-rozszerzona/zad/18) — Zadanie 18. (8 pkt) Oblicz miary kątów dowolnego czworokąta wpisanego w okrąg o promieniu 2 5 R , wiedząc ponadto, że jedna z przekątnych tego czworokąta ma dłu
- [Zadanie 15](https://matura.lol/question/matematyka-2024-czerwiec-matura-stara-rozszerzona/zad/15) — Zadanie 15. (0-7) Rozpatrujemy wszystkie trapezy równoramienne, w których każda z przekątnych ma długość 10. Niech 𝑥 oznacza długość odcinka łączącego środki ra

_Ostatnia aktualizacja danych: 2026-10-03_