# Matematyka — zadanie 5

> Źródło: matura.lol — https://matura.lol/question/sprawnamatura-matura-sierpie-2018/zad/5
> Wersja Markdown strony zadania (dla asystentów AI). Przy cytowaniu podaj matura.lol i link powyżej.

- arkusz: Matematyka · Matura · 2018 (podstawowa)
- rok: 2018
- poziom: podstawowa
- typ: closed
- punkty: 1
- działy: Potęgi i pierwiastki

## Treść

Równość \((a+2\sqrt{3})^2=13+4\sqrt{3}\) jest prawdziwa dla

## Rozwiązanie — sprawnamatura

I sposób - podstawiając poszczególne odpowiedzi do równania.

Możemy podstawiać po kolei do równania poszczególne odpowiedzi, sprawdzając kiedy lewa strona będzie równa prawej. Rozwiązując to zadanie w ten sposób otrzymamy:

Odp. A. Dla \(a=\sqrt{13}\)

$$(\sqrt{13}+2\sqrt{3})^2=13+2\cdot\sqrt{13}\cdot2\sqrt{3}+4\cdot3=13+4\sqrt{39}+12=25+4\sqrt{39}$$

W tym przypadku nie udało nam się otrzymać wyniku \(13+4\sqrt{3}\).

Odp. B. Dla \(a=1\)

$$(1+2\sqrt{3})^2=1+4\sqrt{3}+4\cdot3=1+4\sqrt{3}+12=13+4\sqrt{3}$$

Otrzymaliśmy dokładnie \(13+4\sqrt{3}\), zatem możemy zaznaczyć, że poszukiwaną liczba jest \(a=1\) i nie musimy już obliczać kolejnych odpowiedzi.

II sposób - przekształcając lewą i prawą stronę równania.

Jeżeli chcemy podejść do zadania nieco bardziej matematycznie, to możemy całość rozwiązać w następujący sposób:

Lewa strona równania:

$$(a+2\sqrt{3})^2=a^2+4\sqrt{3}a+12$$

Prawa strona równania:

$$13+4\sqrt{3}=1+4\sqrt{3}+12$$

Porównując teraz zapisy lewej i prawej strony widzimy wyraźnie, że aby były one sobie równe, to \(a=1\).

## Odpowiedź

**Odpowiedź:** B

_Źródło nieoficjalne._

## Linki

- [dane JSON](https://matura.lol/api/question/sprawnamatura-matura-sierpie-2018/zad/5)
- [otwórz w wyszukiwarce](https://matura.lol/?problem=sprawnamatura-matura-sierpie-2018%2Fzad%2F5)

## Podobne zadania

- [Zadanie 105](https://matura.lol/question/sprawnamatura-cke-pp-treningowe/zad/105) — Wykaż, że prawdziwa jest nierówność \(\sqrt{2^{50} + 1} + \sqrt{2^{50} - 1} \lt 2^{26}\).
- [Zadanie 47](https://matura.lol/question/sprawnamatura-cke-2025-pp/zad/47) — Wierzchołki \(A\) i \(C\) trójkąta \(ABC\) leżą na okręgu o promieniu \(r\). Środek \(S\) tego okręgu leży na boku \(AB\) tego trójkąta (zobacz rysunek poniżej)
- [Zadanie 34](https://matura.lol/question/matematyka-2019-czerwiec-matura-podstawowa/zad/34) — Zadanie 34. (0-4) Dany jest trójkąt rozwartokątny ABC, w którym ACB  ma miarę 120°. Ponadto wiadomo, że 10 BC = i 10 7 AB = (zobacz rysunek). Oblicz długość tr
- [Zadanie 7](https://matura.lol/question/sprawnamatura-matura-sierpie-2024/zad/7) — Rozwiąż równanie \[ x^{3}+5 x^{2}-2 x-10=0 \] Zapisz obliczenia.

_Ostatnia aktualizacja danych: 2026-10-03_