# Matematyka — zadanie 21

> Źródło: matura.lol — https://matura.lol/question/sprawnamatura-matura-sierpie-2019/zad/21
> Wersja Markdown strony zadania (dla asystentów AI). Przy cytowaniu podaj matura.lol i link powyżej.

- arkusz: Matematyka · Matura · 2019 (podstawowa)
- rok: 2019
- poziom: podstawowa
- typ: closed
- punkty: 1
- działy: Geometria analityczna

## Treść

Dany jest prostopadłościan o wymiarach \(30 \text{ cm} \times 40 \text{ cm} \times 120 \text{ cm}\) (zobacz rysunek), a ponadto dane są cztery odcinki \(a, b, c, d\), o długościach - odpowiednio - \(119 \text{ cm}, 121 \text{ cm}, 129 \text{ cm i } 131 \text{ cm}\). Przekątna tego prostopadłościanu jest dłuższa

## Rozwiązanie — sprawnamatura

Krok 1. Sporządzenie rysunku pomocniczego.

Spróbujmy na początek narysować tę sytuację, zaznaczając od razu przekątną całego prostopadłościanu.

Utworzył nam się trójkąt prostokątny w którym przekątna bryły jest przeciwprostokątną tego trójkąta. To właśnie z tego trójkąta wyznaczymy długość tej przekątnej.

Krok 2. Obliczenie długości przekątnej podstawy.

Zanim obliczymy przekątną całego prostopadłościanu to widzimy z rysunku, że musimy obliczyć przekątną podstawy. Korzystając z Twierdzenia Pitagorasa możemy zapisać, że:

$$120^2+30^2=c^2 \\

14400+900=c^2 \\

c^2=15300 \\

c=\sqrt{15300} \quad\lor\quad c=-\sqrt{15300}$$

Ujemną wartość odrzucamy, bo długość boku musi być dodatnia. Zostaje nam więc \(c=\sqrt{15300}\) i na razie w takiej postaci to zostawimy.

Krok 3. Obliczenie długości przekątnej prostopadłościanu.

Teraz korzystając z naszego zaznaczonego trójkąta prostokątnego możemy obliczyć długość przekątnej całej bryły, ponownie korzystając z Twierdzenia Pitagorasa:

$$(\sqrt{15300})^2+40^2=d^2 \\

15300+1600=d^2 \\

d^2=16900 \\

d=\sqrt{16900} \quad\lor\quad d=-\sqrt{16900} \\

d=130 \quad\lor\quad d=-130$$

Ponownie odrzucamy ujemną długość, zatem zostaje nam \(d=130\).

Krok 4. Wybór prawidłowej odpowiedzi.

Musimy odpowiedzieć na pytanie od ilu z podanych odcinków nasza przekątna prostopadłościanu jest dłuższa i widzimy wyraźnie, że jest dłuższa od trzech odcinków: \(a\), \(b\) oraz \(c\).

![rysunek](https://urqfqczecfbhzvrlsvmp.supabase.co/storage/v1/object/public/task-images/solutions/matura-348.png)

## Odpowiedź

**Odpowiedź:** C

_Źródło nieoficjalne._

## Linki

- [dane JSON](https://matura.lol/api/question/sprawnamatura-matura-sierpie-2019/zad/21)
- [otwórz w wyszukiwarce](https://matura.lol/?problem=sprawnamatura-matura-sierpie-2019%2Fzad%2F21)

## Podobne zadania

- [Zadanie 15](https://matura.lol/question/matematyka-2023-czerwiec-matura-stara-rozszerzona/zad/15) — Zadanie 15. (0-7) Okrąg 𝑜1 o środku w punkcie 𝑆1 jest określony równaniem (𝑥-6)2 + (𝑦+ 1)2 = 16. Okrąg 𝑜2 ma środek w punkcie 𝑆2 takim, że 𝑆1𝑆2⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ = [-4, 4
- [Zadanie 13](https://matura.lol/question/sprawnamatura-matura-rozszerzona-czerwiec-2026/zad/13) — W kartezjańskim układzie współrzędnych \((x, y)\) rozważamy wszystkie trójkąty prostokątne \(ABC\), w których \(C = (0, 0)\), wierzchołek \(B\) leży na dodatnie
- [Zadanie 11](https://matura.lol/question/matematyka-2025-czerwiec-matura-rozszerzona/zad/11) — Zadanie 11. (0-6) W kartezjańskim układzie współrzędnych (𝑥, 𝑦) dany jest równoległobok 𝐴𝐵𝐶𝐷 o wierzchołkach 𝐴= (-8, -1) i 𝐷= (-13, 9) oraz środku symetrii 𝑀= (
- [Zadanie 11](https://matura.lol/question/matematyka-2024-czerwiec-matura-rozszerzona/zad/11) — Zadanie 11. (0-6) W kartezjańskim układzie współrzędnych (𝑥, 𝑦) prosta o równaniu 3𝑥+ 𝑦+ 2 = 0 przecina parabolę o równaniu 𝑦= 𝑥2 -2𝑥-8 w punktach 𝐴 oraz 𝐵, któ

_Ostatnia aktualizacja danych: 2026-10-03_