# Matematyka — zadanie 31

> Źródło: matura.lol — https://matura.lol/question/sprawnamatura-matura-sierpie-2019/zad/31
> Wersja Markdown strony zadania (dla asystentów AI). Przy cytowaniu podaj matura.lol i link powyżej.

- arkusz: Matematyka · Matura · 2019 (podstawowa)
- rok: 2019
- poziom: podstawowa
- typ: open
- punkty: 2
- działy: Geometria analityczna

## Treść

Przekątne rombu \(ABCD\) przecinają się w punkcie \(S=\left(-\frac{21}{2},-1\right)\). Punkty \(A\) i \(C\) leżą na prostej o równaniu \(y=\frac{1}{3}x+\frac{5}{2}\). Wyznacz równanie prostej \(BD\).

## Rozwiązanie — sprawnamatura

Krok 1. Sporządzenie rysunku pomocniczego.

[obrazek: https://urqfqczecfbhzvrlsvmp.supabase.co/storage/v1/object/public/task-images/solutions-generated/matura-sierpie-2019-31.png]

Krok 2. Ustalenie współczynnika \(a\) prostej \(BD\).

Wiemy, że prosta \(AC\) wyraża się równaniem \(y=\frac{1}{3}x+\frac{5}{2}\), czyli współczynnik kierunkowy \(a\) tej prostej wynosi \(\frac{1}{3}\). Prosta \(BD\) musi być prostopadła do naszej prostej \(AC\), a aby dwie proste były względem siebie prostopadłe, to iloczyn ich współczynników kierunkowych musi być równy \(-1\). W związku z tym prosta \(BD\) będzie miała współczynnik \(a\) równy:

$$\frac{1}{3}\cdot a=-1 \\

a=-3$$

Możemy teraz podstawić wyznaczony współczynnik do postaci kierunkowej \(y=ax+b\), a to oznacza, że wzór prostej \(BD\) możemy zapisać już jako \(y=-3x+b\).

Krok 3. Obliczenie współczynnika \(b\) prostej \(BD\).

Do poznania pełnego wzoru brakuje nam jeszcze współczynnika \(b\). Wyznaczymy go podstawiając do otrzymanej przed chwilą postaci \(y=-3x+b\) współrzędne punktu \(S\), przez który ta prosta przechodzi. Podstawiając zatem \(x=-\frac{21}{2}\) oraz \(y=-1\) otrzymamy:

$$y=-3x+b \\

-1=-3\cdot(-\frac{21}{2})+b \\

-1=\frac{63}{2}+b \\

-1=31\frac{1}{2}+b \\

b=-32\frac{1}{2}$$

To oznacza, że nasza prosta \(BD\) wyraża się równaniem: \(y=-3x-32\frac{1}{2}\).

## Odpowiedź

**Odpowiedź:** \(y=-3x-32\frac{1}{2}\)

_Źródło nieoficjalne._

## Linki

- [dane JSON](https://matura.lol/api/question/sprawnamatura-matura-sierpie-2019/zad/31)
- [otwórz w wyszukiwarce](https://matura.lol/?problem=sprawnamatura-matura-sierpie-2019%2Fzad%2F31)

## Podobne zadania

- [Zadanie 15](https://matura.lol/question/matematyka-2023-czerwiec-matura-stara-rozszerzona/zad/15) — Zadanie 15. (0-7) Okrąg 𝑜1 o środku w punkcie 𝑆1 jest określony równaniem (𝑥-6)2 + (𝑦+ 1)2 = 16. Okrąg 𝑜2 ma środek w punkcie 𝑆2 takim, że 𝑆1𝑆2⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ = [-4, 4
- [Zadanie 13](https://matura.lol/question/sprawnamatura-matura-rozszerzona-czerwiec-2026/zad/13) — W kartezjańskim układzie współrzędnych \((x, y)\) rozważamy wszystkie trójkąty prostokątne \(ABC\), w których \(C = (0, 0)\), wierzchołek \(B\) leży na dodatnie
- [Zadanie 11](https://matura.lol/question/matematyka-2025-czerwiec-matura-rozszerzona/zad/11) — Zadanie 11. (0-6) W kartezjańskim układzie współrzędnych (𝑥, 𝑦) dany jest równoległobok 𝐴𝐵𝐶𝐷 o wierzchołkach 𝐴= (-8, -1) i 𝐷= (-13, 9) oraz środku symetrii 𝑀= (
- [Zadanie 11](https://matura.lol/question/matematyka-2024-czerwiec-matura-rozszerzona/zad/11) — Zadanie 11. (0-6) W kartezjańskim układzie współrzędnych (𝑥, 𝑦) prosta o równaniu 3𝑥+ 𝑦+ 2 = 0 przecina parabolę o równaniu 𝑦= 𝑥2 -2𝑥-8 w punktach 𝐴 oraz 𝐵, któ

_Ostatnia aktualizacja danych: 2026-10-03_