# Matematyka — zadanie 32

> Źródło: matura.lol — https://matura.lol/question/sprawnamatura-matura-sierpie-2019/zad/32
> Wersja Markdown strony zadania (dla asystentów AI). Przy cytowaniu podaj matura.lol i link powyżej.

- arkusz: Matematyka · Matura · 2019 (podstawowa)
- rok: 2019
- poziom: podstawowa
- typ: open
- punkty: 4
- działy: Ciągi

## Treść

W ciągu arytmetycznym \((a_1,a_2,...,a_{39},a_{40})\) suma wyrazów tego ciągu o numerach parzystych jest równa \(1340\), a suma wyrazów ciągu o numerach nieparzystych jest równa \(1400\). Wyznacz ostatni wyraz tego ciągu arytmetycznego.

## Rozwiązanie — sprawnamatura

Krok 1. Obliczenie różnicy ciągu arytmetycznego.

Z treści zadania wynika, że:

$$a_{2}+a_{4}+a_{6}+...+a_{38}+a_{40}=1340 \\

\text{oraz} \\

a_{1}+a_{3}+a_{5}+...+a_{37}+a_{39}=1400$$

Powstały nam więc tak jakby dwa oddzielne ciągi arytmetyczne, każdy składający się z 20-stu wyrazów.

Jak dobrze się przyjrzymy to zauważymy, że każdy wyraz pierwszego ciągu jest o \(r\) większy od analogicznego wyrazu z ciągu drugiego, bo przecież:

$$a_{2}=a_{1}+r \\

a_{4}=a_{3}+r \\

a_{40}=a_{39}+r$$

Możemy więc ten pierwszy ciąg zapisać jako:

$$(a_{1}+r)+(a_{3}+r)+(a_{5}+r)+...+(a_{37}+r)+(a_{39}+r)=1340 \\

\text{czyli:} \\

a_{1}+a_{3}+a_{5}+...+a_{37}+a_{39}+20r=1340$$

Skoro suma \(a_{1}+a_{3}+a_{5}+...+a_{37}+a_{39}\) jest równa \(1400\), to podstawiając to do powyższego równania otrzymamy:

$$1400+20r=1340 \\

20r=-60 \\

r=-3$$

Krok 2. Obliczenie sumy wszystkich wyrazów ciągu arytmetycznego.

Skoro suma wyrazów parzystych jest równa \(1340\), a suma wyrazów nieparzystych jest równa \(1400\), to suma wszystkich wyrazów naszego całego czterdziesto-wyrazowego ciągu wynosi:

$$S_{40}=1340+1400 \\

S_{40}=2740$$

Krok 3. Obliczenie wartości pierwszego wyrazu.

Skorzystamy teraz ze wzoru na sumę \(n\)-tych wyrazów ciągu arytmetycznego:

$$S_{n}=\frac{a_{1}+a_{n}}{2}\cdot n \\

S_{40}=\frac{a_{1}+a_{40}}{2}\cdot40$$

Wiemy już, że \(S_{40}=2740\) oraz że \(r=-3\). Dodatkowo wartość \(a_{40}\) możemy rozpisać jako \(a_{1}+39r\). To sprawia, że:

$$S_{40}=\frac{a_{1}+a_{1}+39r}{2}\cdot40 \\

2740=\frac{a_{1}+a_{1}+39\cdot(-3)}{2}\cdot40 \\

2740=(a_{1}+a_{1}+(-117))\cdot20 \\

137=2a_{1}-117 \\

2a_{1}=254 \\

a_{1}=127$$

Krok 4. Obliczenie wartości czterdziestego wyrazu.

Skoro \(a_{1}=127\) oraz \(r=-3\), to korzystając z tego, że \(a_{40}=a_{1}+39r\) otrzymamy:

$$a_{40}=a_{1}+39r \\

a_{40}=127+39\cdot(-3) \\

a_{40}=127-117 \\

a_{40}=10$$

## Odpowiedź

**Odpowiedź:** \(10\)

_Źródło nieoficjalne._

## Linki

- [dane JSON](https://matura.lol/api/question/sprawnamatura-matura-sierpie-2019/zad/32)
- [otwórz w wyszukiwarce](https://matura.lol/?problem=sprawnamatura-matura-sierpie-2019%2Fzad%2F32)

## Podobne zadania

- [Zadanie 19](https://matura.lol/question/matematyka-2006-maj-matura-rozszerzona/zad/19) — Zadanie 19. (7 pkt) Nieskończony ciąg geometryczny ( ) n a jest zdefiniowany wzorem rekurencyjnym: ), 2 ( log ,2 2 1 1 ⋅ k a a a n n dla każdej liczby naturalne
- [Zadanie 20](https://matura.lol/question/matematyka-2004-styczen-probna-rozszerzona/zad/20) — Zadanie 20. (7 pkt) Różnica ciągu arytmetycznego (an) jest liczbą mniejszą od 1. Wyznacz najmniejszą wartość wyrażenia 50 49 1 a a a ⋅ wiedząc, że 1 51 = a
- [Zadanie 12](https://matura.lol/question/matematyka-2019-maj-matura-rozszerzona/zad/12) — Zadanie 12. (0-6) Trzywyrazowy ciąg ( ) , , a b c o wyrazach dodatnich jest arytmetyczny, natomiast ciąg 1 2 1 , , 3 2 2 a b a b c       jest geometryczny
- [Zadanie 4](https://matura.lol/question/matematyka-2017-maj-matura-stara-rozszerzona/zad/4) — Zadanie 4. (6 pkt) Liczby a, b, c są - odpowiednio - pierwszym, drugim i trzecim wyrazem ciągu arytmetycznego. Suma tych liczb jest równa 27. Ciąg ( ) 2, , 2 1 

_Ostatnia aktualizacja danych: 2026-10-03_