# Matematyka — zadanie 12

> Źródło: matura.lol — https://matura.lol/question/sprawnamatura-matura-sierpie-2020/zad/12
> Wersja Markdown strony zadania (dla asystentów AI). Przy cytowaniu podaj matura.lol i link powyżej.

- arkusz: Matematyka · Matura · 2020 (podstawowa)
- rok: 2020
- poziom: podstawowa
- typ: closed
- punkty: 1
- działy: Geometria analityczna

## Treść

Do okręgu o środku w punkcie \(S = (2, 4)\) należy punkt \(P = (1, 3)\). Długość tego okręgu jest równa

## Rozwiązanie — sprawnamatura

Krok 1. Sporządzenie rysunku pomocniczego.

Sytuacja z treści zadania będzie wyglądać mniej więcej w ten oto sposób:

![rysunek](https://urqfqczecfbhzvrlsvmp.supabase.co/storage/v1/object/public/task-images/solutions/matura-448.png)

Krok 2. Obliczenie długości promienia okręgu.

Długość promienia okręgu możemy obliczyć korzystając ze wzoru na długość odcinka. Jednak prościej będzie skorzystać z rysunku pomocniczego, bowiem wprost widzimy, że utworzył nam się tutaj trójkąt prostokątny o przyprostokątnych o długości \(1\) (taka połówka kwadratu). Możemy więc od razu zauważyć, że \(r=\sqrt{2}\) (bo przekątna kwadratu jest \(\sqrt{2}\) razy dłuższa od boku kwadratu). Ewentualnie możemy posłużyć się Twierdzeniem Pitagorasa:

$$1^2+1^2=r^2 \\

1+1=r^2 \\

r^2=2 \\

r=\sqrt{2} \quad\lor\quad r=-\sqrt{2}$$

Ujemny wynik oczywiście odrzucamy, zatem zostaje nam \(r=\sqrt{2}\).

Krok 3. Obliczenie długości okręgu.

Korzystając ze wzoru na obwód okręgu możemy zapisać, że:

$$Obw=2\pi r \\

Obw=2\pi\cdot\sqrt{2}$$

## Odpowiedź

**Odpowiedź:** C

_Źródło nieoficjalne._

## Linki

- [dane JSON](https://matura.lol/api/question/sprawnamatura-matura-sierpie-2020/zad/12)
- [otwórz w wyszukiwarce](https://matura.lol/?problem=sprawnamatura-matura-sierpie-2020%2Fzad%2F12)

## Podobne zadania

- [Zadanie 15](https://matura.lol/question/matematyka-2023-czerwiec-matura-stara-rozszerzona/zad/15) — Zadanie 15. (0-7) Okrąg 𝑜1 o środku w punkcie 𝑆1 jest określony równaniem (𝑥-6)2 + (𝑦+ 1)2 = 16. Okrąg 𝑜2 ma środek w punkcie 𝑆2 takim, że 𝑆1𝑆2⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ = [-4, 4
- [Zadanie 13](https://matura.lol/question/sprawnamatura-matura-rozszerzona-czerwiec-2026/zad/13) — W kartezjańskim układzie współrzędnych \((x, y)\) rozważamy wszystkie trójkąty prostokątne \(ABC\), w których \(C = (0, 0)\), wierzchołek \(B\) leży na dodatnie
- [Zadanie 11](https://matura.lol/question/matematyka-2025-czerwiec-matura-rozszerzona/zad/11) — Zadanie 11. (0-6) W kartezjańskim układzie współrzędnych (𝑥, 𝑦) dany jest równoległobok 𝐴𝐵𝐶𝐷 o wierzchołkach 𝐴= (-8, -1) i 𝐷= (-13, 9) oraz środku symetrii 𝑀= (
- [Zadanie 11](https://matura.lol/question/matematyka-2024-czerwiec-matura-rozszerzona/zad/11) — Zadanie 11. (0-6) W kartezjańskim układzie współrzędnych (𝑥, 𝑦) prosta o równaniu 3𝑥+ 𝑦+ 2 = 0 przecina parabolę o równaniu 𝑦= 𝑥2 -2𝑥-8 w punktach 𝐴 oraz 𝐵, któ

_Ostatnia aktualizacja danych: 2026-10-03_