# Matematyka — zadanie 15

> Źródło: matura.lol — https://matura.lol/question/sprawnamatura-matura-sierpie-2020/zad/15
> Wersja Markdown strony zadania (dla asystentów AI). Przy cytowaniu podaj matura.lol i link powyżej.

- arkusz: Matematyka · Matura · 2020 (podstawowa)
- rok: 2020
- poziom: podstawowa
- typ: closed
- punkty: 1
- działy: Planimetria

## Treść

Przyprostokątna \(AC\) trójkąta prostokątnego \(ABC\) ma długość \(6\), a wysokość \(CD\) dzieli go na dwa takie trójkąty \(ADC\) i \(CDB\), że pole trójkąta \(ADC\) jest \(4\) razy większe od pola trójkąta \(CDB\) (zobacz rysunek). Przyprostokątna \(BC\) trójkąta prostokątnego \(ABC\) jest równa

## Rozwiązanie — sprawnamatura

Krok 1. Obliczenie skali podobieństwa trójkątów.

Z własności podobieństwa wynika, że jeżeli jakiś trójkąt jest podobny do drugiego w skali podobieństwa równej \(k\), to pole tego trójkąta będzie \(k^2\) razy większe. W naszym przypadku pole trójkąta \(ADC\) jest \(4\) razy większe od trójkąta \(CDB\), zatem:

$$k^2=4 \\

k=2 \quad\lor\quad k=-2$$

Skala podobieństwa nie może być ujemna, zatem zostaje nam \(k=2\).

Krok 2. Obliczenie długości przyprostokątnej \(BC\).

Wiemy już, że skala podobieństwa jest równa \(k=2\), czyli że wszystkie boki trójkąta \(ADC\) są dwa razy większe od analogicznych boków trójkąta \(CDB\).

Bok \(BC\) jest przeciwprostokątną trójkąta \(CDB\), tak samo jak bok \(CA\) jest przeciwprostokątną trójkąta \(ADC\). Skoro tak, to bok \(BC\) będzie dwa razy krótszy od boku \(CA\), czyli \(|BC|=3\).

## Odpowiedź

**Odpowiedź:** D

_Źródło nieoficjalne._

## Linki

- [dane JSON](https://matura.lol/api/question/sprawnamatura-matura-sierpie-2020/zad/15)
- [otwórz w wyszukiwarce](https://matura.lol/?problem=sprawnamatura-matura-sierpie-2020%2Fzad%2F15)

## Podobne zadania

- [Zadanie 19](https://matura.lol/question/matematyka-2002-maj-matura-rozszerzona/zad/19) — Zadanie 19. (10 pkt) W trójkącie jeden z kątów ma miarę ° 120 . Długości boków tego trójkąta są kolejnymi wyrazami ciągu arytmetycznego, którego suma wynosi 30.
- [Zadanie 10](https://matura.lol/question/matematyka-2006-styczen-probna-podstawowa/zad/10) — W trapezie opisanym na okręgu kąty przy dłuższej podstawie mają miary \(60^{\circ}\) i \(30^{\circ}\), a długość wysokości tego trapezu jest równa 6. Sporządź o
- [Zadanie 18](https://matura.lol/question/matematyka-2005-grudzien-probna-rozszerzona/zad/18) — Zadanie 18. (8 pkt) Oblicz miary kątów dowolnego czworokąta wpisanego w okrąg o promieniu 2 5 R , wiedząc ponadto, że jedna z przekątnych tego czworokąta ma dłu
- [Zadanie 15](https://matura.lol/question/matematyka-2024-czerwiec-matura-stara-rozszerzona/zad/15) — Zadanie 15. (0-7) Rozpatrujemy wszystkie trapezy równoramienne, w których każda z przekątnych ma długość 10. Niech 𝑥 oznacza długość odcinka łączącego środki ra

_Ostatnia aktualizacja danych: 2026-10-03_