# Matematyka — zadanie 27

> Źródło: matura.lol — https://matura.lol/question/sprawnamatura-matura-sierpie-2020/zad/27
> Wersja Markdown strony zadania (dla asystentów AI). Przy cytowaniu podaj matura.lol i link powyżej.

- arkusz: Matematyka · Matura · 2020 (podstawowa)
- rok: 2020
- poziom: podstawowa
- typ: open
- punkty: 2
- działy: Ciągi

## Treść

Dany jest trzywyrazowy ciąg \((x + 2,\ 4x + 2,\ x + 11)\). Oblicz wszystkie wartości \(x\), dla których ten ciąg jest geometryczny.

## Rozwiązanie — sprawnamatura

Krok 1. Wykorzystanie własności dla trzech kolejnych wyrazów ciągu geometrycznego.

Z własności ciągów geometrycznych wiemy, że dla trzech kolejnych wyrazów zachodzi następująca zależność:

$${a_{2}}^2=a_{1}\cdot a_{3}$$

Podstawiając wyrazy z treści zadania otrzymamy następujące równanie:

$$(4x+2)^2=(x+2)(x+11)$$

Teraz nasze równanie musimy uprościć, wymnażając przez siebie poszczególne wyrazy. Po lewej stronie równania będziemy mogli skorzystać ze wzoru skróconego mnożenia \((a+b)=a^2+2ab+b^2\), zatem:

$$16x^2+16x+4=x^2+11x+2x+22 \\

16x^2+16x+4=x^2+13x+22 \\

15x^2+3x-18=0$$

Krok 2. Rozwiązanie powstałego równania kwadratowego.

Powstało nam klasyczne równanie kwadratowe zapisane w postaci ogólnej, które teraz musimy rozwiązać, zatem:

Współczynniki: \(a=15,\;b=3,\;c=-18\)

$$Δ=b^2-4ac=3^2-4\cdot15\cdot(-18)=9-(-1080)=9+1080=1089 \\

\sqrt{Δ}=\sqrt{1089}=33$$

$$x_{1}=\frac{-b-\sqrt{Δ}}{2a}=\frac{-3-33}{2\cdot15}=\frac{-36}{30}=-\frac{6}{5} \\

x_{2}=\frac{-b+\sqrt{Δ}}{2a}=\frac{-3+33}{2\cdot15}=\frac{30}{30}=1$$

Krok 3. Interpretacja otrzymanego wyniku.

Wyszły nam dwie różne wartości \(x\). Nie mamy powodu, by którąkolwiek z nich odrzucić (moglibyśmy odrzucać gdyby np. w treści zadania była informacja, że ciąg jest rosnący). W związku z tym rozwiązaniem tego zadania jest \(x=-\frac{6}{5}\) oraz \(x=1\).

## Odpowiedź

**Odpowiedź:** \(-\frac{6}{5},\ 1\)

_Źródło nieoficjalne._

## Linki

- [dane JSON](https://matura.lol/api/question/sprawnamatura-matura-sierpie-2020/zad/27)
- [otwórz w wyszukiwarce](https://matura.lol/?problem=sprawnamatura-matura-sierpie-2020%2Fzad%2F27)

## Podobne zadania

- [Zadanie 19](https://matura.lol/question/matematyka-2006-maj-matura-rozszerzona/zad/19) — Zadanie 19. (7 pkt) Nieskończony ciąg geometryczny ( ) n a jest zdefiniowany wzorem rekurencyjnym: ), 2 ( log ,2 2 1 1 ⋅ k a a a n n dla każdej liczby naturalne
- [Zadanie 20](https://matura.lol/question/matematyka-2004-styczen-probna-rozszerzona/zad/20) — Zadanie 20. (7 pkt) Różnica ciągu arytmetycznego (an) jest liczbą mniejszą od 1. Wyznacz najmniejszą wartość wyrażenia 50 49 1 a a a ⋅ wiedząc, że 1 51 = a
- [Zadanie 12](https://matura.lol/question/matematyka-2019-maj-matura-rozszerzona/zad/12) — Zadanie 12. (0-6) Trzywyrazowy ciąg ( ) , , a b c o wyrazach dodatnich jest arytmetyczny, natomiast ciąg 1 2 1 , , 3 2 2 a b a b c       jest geometryczny
- [Zadanie 4](https://matura.lol/question/matematyka-2017-maj-matura-stara-rozszerzona/zad/4) — Zadanie 4. (6 pkt) Liczby a, b, c są - odpowiednio - pierwszym, drugim i trzecim wyrazem ciągu arytmetycznego. Suma tych liczb jest równa 27. Ciąg ( ) 2, , 2 1 

_Ostatnia aktualizacja danych: 2026-10-03_