# Matematyka — zadanie 29

> Źródło: matura.lol — https://matura.lol/question/sprawnamatura-matura-sierpie-2020/zad/29
> Wersja Markdown strony zadania (dla asystentów AI). Przy cytowaniu podaj matura.lol i link powyżej.

- arkusz: Matematyka · Matura · 2020 (podstawowa)
- rok: 2020
- poziom: podstawowa
- typ: open
- punkty: 2
- działy: Planimetria

## Treść

Dwa okręgi o promieniach \(r = 2\) i \(R = 6\) są styczne zewnętrznie i są styczne do wspólnej prostej \(k\). Wykaż, że prosta \(l\) przechodząca przez środki \(S\) i \(P\) tych okręgów przecina prostą \(k\) pod kątem \(\alpha = 30^\circ \) (zobacz rysunek).

## Rozwiązanie — sprawnamatura

Krok 1. Sporządzenie rysunku pomocniczego.

Całą sytuację możemy sprowadzić do schematu znanego z trójkątów podobnych:

Warto też pamiętać, że jedną z własności stycznych do okręgu jest to, że tworzą one z promieniem okręgu kąt prosty (można więc powiedzieć, że dzięki temu mamy na rysunku podobne trójkąty prostokątne).

Krok 2. Obliczenie długości odcinka \(x\).

Z własności figur podobnych wiemy, że stosunek przeciwprostokątnej \(x\) względem przyprostokątnej o długości \(2\), musi być taki sam jak przeciwprostokątnej o długości \(x+8\) względem przyprostokątnej o długości \(6\). Możemy zatem ułożyć takie oto równanie:

$$\frac{x}{2}=\frac{x+8}{6}$$

Mnożąc na krzyż otrzymamy:

$$x\cdot 6=2\cdot(x+8) \\

6x=2x+16 \\

4x=16 \\

x=4$$

Krok 3. Zakończenie dowodzenia.

Skoro \(x=4\), to cała przeciwprostokątna naszego trójkąta ma długość równą \(12\). Wiemy też, że przyprostokątna ma długość \(6\), czyli, że jest ona dwa razy krótsza od przeciwprostokątnej. Powinno nam to zasugerować, że ten trójkąt jest klasycznym trójkątem o kątach \(30°, 60°, 90°\), bowiem to właśnie w nim mamy taką sytuację, że jedna przyprostokątna jest dwa razy krótsza od przeciwprostokątnej, co mogłoby zakończyć nasze dowodzenie.

Aby jednak pokazać wprost, że ten kąt ma miarę \(30°\) wystarczy skorzystać z funkcji trygonometrycznych, a konkretnie z sinusa:

$$sin\alpha=\frac{6}{12} \\

sin\alpha=\frac{1}{2}$$

Z małej tabelki trygonometrycznej odczytujemy, że sinus przyjmuje wartość równą \(\frac{1}{2}\) dla kąta \(30°\), co kończy nasze dowodzenie.

![rysunek](https://urqfqczecfbhzvrlsvmp.supabase.co/storage/v1/object/public/task-images/solutions/matura-450.png)

## Odpowiedź

**Odpowiedź:** Dowód w rozwiązaniu

_Źródło nieoficjalne._

## Linki

- [dane JSON](https://matura.lol/api/question/sprawnamatura-matura-sierpie-2020/zad/29)
- [otwórz w wyszukiwarce](https://matura.lol/?problem=sprawnamatura-matura-sierpie-2020%2Fzad%2F29)

## Podobne zadania

- [Zadanie 19](https://matura.lol/question/matematyka-2002-maj-matura-rozszerzona/zad/19) — Zadanie 19. (10 pkt) W trójkącie jeden z kątów ma miarę ° 120 . Długości boków tego trójkąta są kolejnymi wyrazami ciągu arytmetycznego, którego suma wynosi 30.
- [Zadanie 10](https://matura.lol/question/matematyka-2006-styczen-probna-podstawowa/zad/10) — W trapezie opisanym na okręgu kąty przy dłuższej podstawie mają miary \(60^{\circ}\) i \(30^{\circ}\), a długość wysokości tego trapezu jest równa 6. Sporządź o
- [Zadanie 18](https://matura.lol/question/matematyka-2005-grudzien-probna-rozszerzona/zad/18) — Zadanie 18. (8 pkt) Oblicz miary kątów dowolnego czworokąta wpisanego w okrąg o promieniu 2 5 R , wiedząc ponadto, że jedna z przekątnych tego czworokąta ma dłu
- [Zadanie 15](https://matura.lol/question/matematyka-2024-czerwiec-matura-stara-rozszerzona/zad/15) — Zadanie 15. (0-7) Rozpatrujemy wszystkie trapezy równoramienne, w których każda z przekątnych ma długość 10. Niech 𝑥 oznacza długość odcinka łączącego środki ra

_Ostatnia aktualizacja danych: 2026-10-03_