# Matematyka — zadanie 33

> Źródło: matura.lol — https://matura.lol/question/sprawnamatura-matura-sierpie-2020/zad/33
> Wersja Markdown strony zadania (dla asystentów AI). Przy cytowaniu podaj matura.lol i link powyżej.

- arkusz: Matematyka · Matura · 2020 (podstawowa)
- rok: 2020
- poziom: podstawowa
- typ: open
- punkty: 4
- działy: Stereometria

## Treść

Pole powierzchni bocznej stożka jest trzy razy większe od pola jego podstawy. Wysokość tego stożka jest równa \(12\). Oblicz objętość tego stożka.

## Rozwiązanie — sprawnamatura

Krok 1. Zapisanie zależności między polem powierzchni bocznej i polem podstawy.

Ze wzorów na pole powierzchni bocznej i pole podstawy wiemy, że:

$$P_{b}=\pi rl \\

P_{p}=\pi r^2$$

Z treści zadania wynika, że pole powierzchni bocznej jest trzy razy większe od pola podstawy, zatem:

$$P_{b}=3\cdot P_{p} \\

\pi rl=3\cdot(\pi r^2) \\

\pi rl=3\pi r^2 \\

rl=3r^2 \\

l=3r$$

Otrzymaliśmy informację, że \(l=3r\), czyli że tworząca stożka jest trzy razy dłuższa od promienia podstawy.

Krok 2. Sporządzenie rysunku pomocniczego.

Skoro \(l=3r\), to nasz stożek będzie wyglądał następująco:

Utworzył nam się trójkąt prostokątny, w którym jedyną niewiadomą jest \(r\) i to właśnie z tego trójkąta obliczymy teraz długość promienia stożka.

Krok 3. Obliczenie długości promienia stożka.

Korzystając z Twierdzenia Pitagorasa możemy zapisać, że:

$$r^2+12^2=(3r)^2 \\

r^2+144=9r^2 \\

8r^2=144 \\

r^2=18 \\

r=\sqrt{18} \quad\lor\quad r=-\sqrt{18}$$

Ujemną wartość oczywiście odrzucamy, zatem zostaje nam \(r=\sqrt{18}\). Moglibyśmy jeszcze wyłączyć czynnik przed znak pierwiastka otrzymując \(r=3\sqrt{2}\), ale tutaj nie jest to potrzebne, bo i tak zaraz będziemy długość tego promienia podnosić do kwadratu.

Krok 4. Obliczenie objętości stożka.

Skoro \(H=12\) oraz \(r=\sqrt{18}\), to objętość stożka będzie równa:

$$V=\frac{1}{3}\cdot P_{p}\cdot H \\

V=\frac{1}{3}\cdot \pi r^2\cdot H \\

V=\frac{1}{3}\cdot \pi \cdot (\sqrt{18})^2\cdot12 \\

V=\frac{1}{3}\cdot \pi \cdot 18\cdot12 \\

V=72\pi$$

![rysunek](https://urqfqczecfbhzvrlsvmp.supabase.co/storage/v1/object/public/task-images/solutions/matura-454.png)

## Odpowiedź

**Odpowiedź:** \(V=72\pi\)

_Źródło nieoficjalne._

## Linki

- [dane JSON](https://matura.lol/api/question/sprawnamatura-matura-sierpie-2020/zad/33)
- [otwórz w wyszukiwarce](https://matura.lol/?problem=sprawnamatura-matura-sierpie-2020%2Fzad%2F33)

## Podobne zadania

- [Zadanie 15](https://matura.lol/question/matematyka-2020-lipiec-matura-rozszerzona/zad/15) — Zadanie 15. (0-7) Rozpatrujemy wszystkie ostrosłupy prawidłowe czworokątne, w których suma promienia okręgu opisanego na podstawie i długości krawędzi bocznej j
- [Zadanie 10](https://matura.lol/question/matematyka-2005-maj-matura-podstawowa/zad/10) — Zadanie 10. (7 pkt) W ostrosłupie czworokątnym prawidłowym wysokości przeciwległych ścian bocznych poprowadzone z wierzchołka ostrosłupa mają długości h i tworz
- [Zadanie 11](https://matura.lol/question/matematyka-2004-styczen-probna-podstawowa/zad/11) — Zadanie 11. (7 pkt) Wyznacz miarę kąta między ścianą boczną i płaszczyzną podstawy ostrosłupa prawidłowego sześciokątnego wiedząc, że pole jego podstawy jest ró
- [Zadanie 10](https://matura.lol/question/matematyka-2023-przykladowy-arkusz-cke-rozszerzona/zad/10) — Zadanie 10. (0-6) Dany jest ostrosłup prawidłowy czworokątny 𝐴𝐵𝐶𝐷𝑆 o podstawie 𝐴𝐵𝐶𝐷 i polu powierzchni bocznej równym 𝑃. Kąt między wysokościami sąsiednich ścia

_Ostatnia aktualizacja danych: 2026-10-03_