← Matematyka · Matura · maj 2002 (podstawowa)

matura.lol / Matematyka / Matura / 2002

Matematyka — zadanie 1

open

Treść

Powierzchnia prostokątnej działki budowlanej równa się $1540$ m $^{2}$ . Oblicz wymiary tej działki wiedząc, że różnią się one o $9$ m.

rozwiązanie

źródło: maturazai.pl (AI)

Poprawna odpowiedź: wymiary działki to $35 m$ oraz $44 m$

Sposób 1 - równanie kwadratowe (podstawienie)

Niech krótszy bok działki wynosi $x$ metrów. Skoro boki różnią się o $9 m$ , dłuższy bok wynosi $x + 9$ metrów.

Pole prostokąta to iloczyn boków, więc:

x (x + 9) = 1540

x^{2} + 9 x = 1540

x^{2} + 9 x - 1540 = 0

Wyznaczamy deltę:

Δ = 9^{2} - 4 \cdot 1 \cdot (- 1540) = 81 + 6160 = 6241

\sqrt{Δ} = \sqrt{6241} = 79

Miejsca zerowe:

x_{1} = \frac{- 9 - 79}{2} = \frac{- 88}{2} = - 44 (odrzucamy - długość nie może być ujemna)

x_{2} = \frac{- 9 + 79}{2} = \frac{70}{2} = 35

Zatem krótszy bok to $35 m$ , a dłuższy $35 + 9 = 44 m$ .

Sprawdzenie: $35 \cdot 44 = 1540$ ✓, $44 - 35 = 9$ ✓

Sposób 2 - układ równań z sumą i różnicą

Oznaczamy oba boki jako $a$ i $b$ . Zapisujemy układ:

{\begin{matrix} a \cdot b = 1540 \\ a - b = 9 \end{matrix}

Z drugiego równania: $a = b + 9$ . Podstawiamy do pierwszego:

(b + 9) \cdot b = 1540

To ten sam punkt co w Sposobie 1 - dalej identycznie.

Alternatywnie - sprytny trick przez sumę i różnicę:

Wiemy, że $a - b = 9$ . Szukamy $a + b$ , bo:

(a + b)^{2} = (a - b)^{2} + 4 a b = 81 + 4 \cdot 1540 = 81 + 6160 = 6241

a + b = \sqrt{6241} = 79

Teraz mamy prosty układ:

{\begin{matrix} a + b = 79 \\ a - b = 9 \end{matrix}

Dodajemy równania: $2 a = 88$ , skąd $a = 44$ .

Odejmujemy: $2 b = 70$ , skąd $b = 35$ .

Wymiary działki: $35 m$ i $44 m$ .

Wzory z karty CKE

Dział 7 (Funkcja kwadratowa, s. 7-9) - wyróżnik i wzór na miejsca zerowe:

Δ = b^{2} - 4 a c, x_{1, 2} = \frac{- b \pm \sqrt{Δ}}{2 a}

Użyliśmy tego w Sposobie 1 do rozwiązania równania $x^{2} + 9 x - 1540 = 0$ .

Dział 6 (Wzory skróconego mnożenia, s. 7) - w Sposobie 2 (trick):

(a + b)^{2} = (a - b)^{2} + 4 a b

(wynika z $(a + b)^{2} = a^{2} + 2 a b + b^{2}$ i $(a - b)^{2} = a^{2} - 2 a b + b^{2}$ )

Typowe pułapki i uwagi

⚠️ Uwaga: Równanie kwadratowe daje dwa rozwiązania: $x = 35$ i $x = - 44$ . Ujemne odrzucamy, bo długość boku musi być dodatnia - nie zapomnij o tym kroku!

⚠️ Uwaga: Łatwo pomylić się przy obliczaniu $\sqrt{6241}$ . Warto sprawdzić: $79^{2} = (80 - 1)^{2} = 6400 - 160 + 1 = 6241$ ✓. Na egzaminie możesz to liczyć wolno i spokojnie.

⚠️ Uwaga: Zadanie pyta o wymiary (oba boki) - nie wystarczy napisać tylko $x = 35$ . Pamiętaj obliczyć też drugi bok: $35 + 9 = 44 m$ .

Poprawna odpowiedź: wymiary działki to $35 m$ oraz $44 m$ .

Sposób 1 - Równanie kwadratowe (zmienna = krótszy bok)

Oznaczenia:

$x$ - długość krótszego boku działki (w metrach, $x > 0$ ),
$x + 9$ - długość dłuższego boku.

Z warunku zadania (pole prostokąta):

x \cdot (x + 9) = 1540

x^{2} + 9 x - 1540 = 0 .

Obliczamy wyróżnik:

Δ = 9^{2} + 4 \cdot 1540 = 81 + 6160 = 6241, \sqrt{Δ} = 79 .

x_{1} = \frac{- 9 - 79}{2} = - 44, x_{2} = \frac{- 9 + 79}{2} = 35 .

Ponieważ $x > 0$ , odrzucamy $x_{1} = - 44$ . Stąd $x = 35$ , a $x + 9 = 44$ .

Sprawdzenie: $35 \cdot 44 = 1540$ ✓; różnica $44 - 35 = 9$ ✓.

Sposób 2 - Układ równań

Niech $a$ i $b$ - długości boków, $a > b > 0$ . Układ:

{\begin{matrix} a \cdot b = 1540 \\ a - b = 9 \end{matrix}

Z drugiego równania: $a = b + 9$ . Podstawiamy do pierwszego:

(b + 9) \cdot b = 1540 \Rightarrow b^{2} + 9 b - 1540 = 0 .

Dalej jak w sposobie 1 - $b = 35$ , $a = 44$ .

Sposób 3 - Rozkład na czynniki (zgadywanie)

Szukamy pary liczb o iloczynie $1540$ i różnicy $9$ :

1540 = 2^{2} \cdot 5 \cdot 7 \cdot 11 .

Rozpatrujemy pary dzielników: $35 \cdot 44 = 1540$ i $44 - 35 = 9$ ✓.

Wniosek dydaktyczny

Przy rozwiązywaniu równań kwadratowych opisujących długości zawsze sprawdzamy założenie $x > 0$ - ujemne rozwiązanie nie ma sensu geometrycznego.

klucz odpowiedzi

Brak oficjalnego klucza odpowiedzi dla tego zadania.

dane JSON → otwórz w wyszukiwarce →

Ostatnia aktualizacja danych: 2026-09-16