Matematyka — zadanie 10

Wszystkie liczby naturalne dwucyfrowe, podzielne przez $6$ są kolejnymi wyrazami pewnego ciągu rosnącego. a) Zapisz wzór ogólny na $n$-ty wyraz tego ciągu arytmetycznego. b) Oblicz, ile wyrazów ma ten ciąg. c) Oblicz sumę piętnastu początkowych kolejnych wyrazów tego ciągu.

Poprawna odpowiedź:

a) $a_n=6n+6$  |  b) ciąg ma 15 wyrazów  |  c) $S_{15}=810$

Sposób 1 - bezpośrednie zastosowanie wzorów ciągu arytmetycznego

Krok 1 - Znajdź pierwszy i ostatni wyraz.

Szukamy dwucyfrowych liczb naturalnych podzielnych przez $6$.

• Najmniejsza dwucyfrowa podzielna przez $6$: $6·2=12$, więc $a_1=12$
• Największa dwucyfrowa podzielna przez $6$: $6·16=96$, bo $6·17=102$ - już trzycyfrowa, więc ostatni wyraz to $96$

Różnica kolejnych wyrazów: $18-12=24-18=6$, zatem różnica ciągu $r=6$.

a) Wzór ogólny:

Sprawdzenie: $a_1=6·1+6=12$ ✓,   $a_2=6·2+6=18$ ✓

b) Liczba wyrazów:

Ostatni wyraz ciągu to $96$. Wyznaczamy $n$:

Ciąg ma 15 wyrazów.

c) Suma 15 wyrazów:

Sposób 2 - ciąg jako wielokrotności 6

Liczby dwucyfrowe podzielne przez $6$ to:

Mnożniki tworzą ciąg $2,3,4,\dots ,16$ - jest ich $16-2+1=15$. Stąd od razu: 15 wyrazów ✓

Wzór ogólny: $n$-ty wyraz to $6·(n+1)$, czyli:

$$a_n=6(n+1)=6n+6$$ ✓

Suma pierwszych 15 wyrazów (mnożniki od 2 do 16):

$$S_{15}=6·(2+3+4+\dots +16)=6·\sum _{k=2}^{16}k=6·(\frac{16·17}{2}-1)=6·(136-1)=6·135=810$$ ✓

Wzory z karty CKE

Dział 8 (Ciągi, s. 9-10)

Wzór na $n$-ty wyraz ciągu arytmetycznego:

Użyliśmy w punkcie a) do zbudowania wzoru ogólnego.

Wzór na sumę $n$ wyrazów ciągu arytmetycznego:

Użyliśmy w punkcie c) do obliczenia $S_{15}$.

Typowe pułapki i uwagi

⚠️ Uwaga: Najczęstszy błąd - przyjęcie $a_1=6$ zamiast $a_1=12$. Liczba $6$ jest jednocyfrowa, więc nie należy do tego ciągu!

⚠️ Uwaga: Przy wyznaczaniu ostatniego wyrazu łatwo pomylić się o jeden krok - warto sprawdzić: $6·16=96$ (OK, dwucyfrowa), $6·17=102$ (trzycyfrowa - za duża).

⚠️ Uwaga: W punkcie c) pytanie dotyczy piętnastu początkowych wyrazów - czyli $S_{15}$. Ponieważ cały ciąg ma dokładnie 15 wyrazów, jest to suma wszystkich wyrazów. Nie myl $S_{15}$ z $S_{15}$ licząc od innego miejsca!

Poprawna odpowiedź: a) $a_n=6n+6$ dla $n=1,2,\dots ,15$; b) $15$ wyrazów; c) $S_{15}=810$.

Sposób 1 - Standardowe wzory ciągu arytmetycznego

a) Wzór ogólny.
Liczby dwucyfrowe to liczby z przedziału $[10,99]$. Najmniejsza liczba dwucyfrowa podzielna przez $6$: $12$ (bo $10:6$ nie jest całkowite, $12:6=2$). Stąd $a_1=12$.

Każda kolejna liczba podzielna przez $6$ różni się od poprzedniej o $6$, więc różnica ciągu $r=6$.

Wzór ogólny ciągu arytmetycznego: $a_n=a_1+(n-1)r$:

b) Liczba wyrazów.
Największa liczba dwucyfrowa podzielna przez $6$: sprawdzamy $99:6=16,5$, więc największa całkowita wielokrotność $6$ w $[10,99]$ to $6·16=96$.

Z równania $a_n=96$:

Ciąg ma $15$ wyrazów.

c) Suma $15$ początkowych wyrazów.
Wzór na sumę $n$ początkowych wyrazów:

Sposób 2 - Suma wyciągnięciem wspólnego czynnika

Ciąg $12,18,24,\dots ,96$ można zapisać jako $6·\{2,3,4,\dots ,16\}$:

Sposób 3 - Przez sumę pierwszych $N$ liczb naturalnych

$$S_{15}=6·135=810$$ ✓

Weryfikacja

Sprawdzenie wzoru: $a_1=6·1+6=12$ ✓; $a_{15}=6·15+6=96$ ✓.
Ciąg pełny: $12,18,24,30,36,42,48,54,60,66,72,78,84,90,96$ - $15$ wyrazów ✓.

Komentarz dydaktyczny

Przy wyszukiwaniu "najmniejszej / największej liczby podzielnej przez $k$ w przedziale" zawsze pomaga dzielenie z resztą: dla $10:6=1r4$, najbliższa wielokrotność $6$ powyżej $10$ to $10+(6-4)=12$. Dla $99:6=16r3$, największa wielokrotność $6$ nie większa niż $99$ to $99-3=96$.