Matematyka — zadanie 9

Wykaż, że w trójkącie prostokątnym suma kwadratów sinusów miar wszystkich jego kątów wewnętrznych równa się $2$.

Poprawna odpowiedź: dowód

To zadanie otwarte - należy wykazać (udowodnić), że suma kwadratów sinusów wszystkich kątów wewnętrznych trójkąta prostokątnego wynosi 2.

Sposób 1 - wzory redukcyjne i jedynka trygonometryczna

Oznaczenia: niech trójkąt prostokątny ma kąty $\alpha$, $\beta$ i kąt prosty $90°$, przy czym kąt prosty jest jednym z kątów wewnętrznych.

Krok 1. Z sumy kątów trójkąta:

Krok 2. Zastosujemy wzór redukcyjny do $\sin \beta$:

Krok 3. Wartość sinusa kąta prostego:

Krok 4. Teraz obliczamy sumę kwadratów sinusów wszystkich trzech kątów:

Krok 5. Stosujemy jedynkę trygonometryczną ${\sin }^2\alpha +{\cos }^2\alpha =1$:

Co należało wykazać. $◻$

Sposób 2 - definicja sinusa przez boki trójkąta

To podejście geometryczne - wyrażamy sinusy wprost przez długości boków.

Oznaczenia: niech $a,b$ to przyprostokątne, $c$ - przeciwprostokątna.

• Kąt naprzeciwko boku $a$ to $\alpha$, kąt naprzeciwko boku $b$ to $\beta$
• Kąt prosty jest naprzeciwko $c$

Krok 1. Z definicji sinusa w trójkącie prostokątnym:

Krok 2. Sumujemy kwadraty:

Krok 3. Z twierdzenia Pitagorasa: $a^2+b^2=c^2$, więc:

Krok 4. Zatem:

Co należało wykazać. $◻$

Wzory z karty CKE

Dział 9 (Trygonometria, s. 11-14):

• Jedynka trygonometryczna:

Użyta w Sposobie 1 - kluczowy krok, dzięki któremu suma ${\sin }^2\alpha +{\sin }^2\beta$ redukuje się do 1.

• Wzór redukcyjny:

Użyty w Sposobie 1 - pozwala zastąpić $\sin \beta$ przez $\cos \alpha$, co umożliwia zastosowanie jedynki.

• Wartość $\sin 90°=1$ - z tablicy wartości funkcji trygonometrycznych (s. 11).

Dział 10 (Planimetria, s. 15):

• Twierdzenie Pitagorasa: $a^2+b^2=c^2$

Użyte w Sposobie 2 - pozwala uprościć ułamek $\frac{a^2+b^2}{c^2}$ do 1.

Typowe pułapki i uwagi

⚠️ Uwaga: Pamiętaj, że kąt prosty $90°$ też jest kątem wewnętrznym trójkąta i jego sinus też trzeba uwzględnić. Uczniowie często piszą tylko ${\sin }^2\alpha +{\sin }^2\beta$ i próbują dowieść, że to równa się 2 - co jest błędem.

⚠️ Uwaga: Wzór redukcyjny $\sin (90°-\alpha )=\cos \alpha$ to nie "oczywistość" - należy go jawnie przywołać w dowodzie. Bez tego krok przejścia od $\sin \beta$ do $\cos \alpha$ nie jest uzasadniony.

⚠️ Uwaga: W Sposobie 2 definicja $\sin \alpha =\frac{a}{c}$ działa tylko w trójkącie prostokątnym - jest to szczegółowy przypadek ogólnej definicji. Warto to zaznaczyć, bo takie ograniczenie jest zgodne z treścią zadania.

Teza: W trójkącie prostokątnym ${\sin }^2\alpha +{\sin }^2\beta +{\sin }^2\gamma =2$.

Sposób 1 - Jedynka trygonometryczna

Niech kąty trójkąta prostokątnego mają miary $\alpha$, $\beta$, $\gamma$, przy czym $\gamma ={90}^{\circ }$. Wtedy:

Suma kwadratów sinusów:

Korzystamy z tożsamości redukcyjnej:

Również $\sin {90}^{\circ }=1$, czyli ${\sin }^2{90}^{\circ }=1$.

Stąd:

Z jedynki trygonometrycznej ${\sin }^2\alpha +{\cos }^2\alpha =1$, więc:

Sposób 2 - Z twierdzenia sinusów

W trójkącie prostokątnym o przeciwprostokątnej $c$ i przyprostokątnych $a$, $b$:

• $\sin \alpha ={\displaystyle \frac{a}{c}}$, $\sin \beta ={\displaystyle \frac{b}{c}}$, $\sin \gamma =\sin {90}^{\circ }=1$.

Suma kwadratów:

Z twierdzenia Pitagorasa $a^2+b^2=c^2$:

Sposób 3 - Wzór ogólny

Dla dowolnego trójkąta ${\sin }^2\alpha +{\sin }^2\beta +{\sin }^2\gamma =2+2\cos \alpha \cos \beta \cos \gamma$. Dla $\gamma ={90}^{\circ }$: $\cos \gamma =0$, więc suma $=2$.

Komentarz dydaktyczny

Metoda Pitagorasa jest najbardziej bezpośrednia - wiąże fakt geometryczny (prostokątny trójkąt) z trygonometrycznym. Tożsamość $\sin ({90}^{\circ }-\alpha )=\cos \alpha$ to kluczowy wzór redukcyjny warto go zapamiętać.