Matematyka — zadanie 7

Funkcja $f:R\to R$ jest określona wzorem: $f(x)=x^2-6x+12$. a) Rozwiąż nierówność $f(x)-19>0$. b) Uzasadnij, że obrazem wykresu funkcji $f$, w symetrii względem prostej o równaniu $x=6$, nie jest parabola, określona równaniem $y=(x-9{)}^2+6$.

Poprawna odpowiedź:

a) $x\in (-\infty ,-1)\cup (7,+\infty )$

b) Wierzchołek wykresu $f$ to $W=(3,3)$. Jego obraz w symetrii osiowej względem $x=6$ to $W^{\prime }=(9,3)$. Tymczasem wierzchołek paraboli $y=(x-9{)}^2+6$ to $W_1=(9,6)$. Ponieważ $W^{\prime }\ne W_1$, parabole są różne.

Sposób 1 - rozwiązanie przez wyróżnik (część a)

Przekształcamy nierówność:

Szukamy miejsc zerowych trójmianu $x^2-6x-7$:

Postać iloczynowa: $x^2-6x-7=(x+1)(x-7)$

Parabola otwiera się w górę (współczynnik $a=1>0$), więc trójmian jest dodatni na zewnątrz pierwiastków:

Sposób 2 - rozkład na czynniki "na skróty" (część a)

Zamiast liczyć wyróżnik, możemy spróbować rozłożyć $x^2-6x-7$ od razu.

Szukamy liczb, których suma to $-6$, a iloczyn to $-7$:

Zatem:

Iloczyn jest dodatni, gdy oba czynniki mają ten sam znak:

| Przedział | $x+1$ | $x-7$ | Iloczyn |
| $x<-1$ | $-$ | $-$ | $+$ ✓ |
| $-1<x<7$ | $+$ | $-$ | $-$ ✗ |
| $x>7$ | $+$ | $+$ | $+$ ✓ |

Wynik: $x\in (-\infty ,-1)\cup (7,+\infty )$ - zgodny z Metodą 1.

Sposób 1 - argument wierzchołka (część b)

Wyznaczamy wierzchołek $W$ paraboli $f$.

Funkcja $f(x)=x^2-6x+12$, więc $a=1$, $b=-6$, $c=12$.

Wierzchołek: $W=(3,3)$.

Wyznaczamy obraz $W^{\prime }$ w symetrii osiowej względem prostej $x=6$.

Symetria względem $x=6$ odbija punkt $(x,y)$ na $(12-x,y)$, bo:

Dla $W=(3,3)$:

Sprawdzamy wierzchołek danej paraboli $y=(x-9{)}^2+6$.

Parabola jest w postaci kanonicznej - odczytujemy wprost:

Wniosek:

Odbicie wykresu $f$ ma wierzchołek w $(9,3)$, a dana parabola ma wierzchołek w $(9,6)$. Ponieważ wierzchołki są różne, parabole są różne. $◻$

Sposób 2 - sprawdzenie konkretnego punktu (część b)

Wyznaczamy obraz innego punktu wykresu $f$ i sprawdzamy, czy leży na $y=(x-9{)}^2+6$.

Weźmy $x=6$ (punkt leży na osi symetrii $x=6$, więc odbija się na siebie):

Obraz $(6,12)$ w symetrii względem $x=6$:

(punkt na osi symetrii pozostaje na miejscu - to poprawne).

Sprawdzamy, czy $(6,12)$ leży na $y=(x-9{)}^2+6$:

Punkt $(6,12)$ nie leży na $y=(x-9{)}^2+6$, choć powinien, gdyby ta parabola była obrazem $f$. Sprzeczność dowodzi, że obrazem nie jest podana parabola. $◻$

Wzory z karty CKE

Dział 7 (Funkcja kwadratowa, s. 7-9)

• Wyróżnik:

Użyty w Sposobie 1 (część a) do wyznaczenia pierwiastków $x_1,x_2$.

• Miejsca zerowe:

• Wierzchołek paraboli:

Użyty w części b) do wyznaczenia $W=(3,3)$.

Typowe pułapki i uwagi

⚠️ Uwaga: Przy nierówności $f(x)-19>0$ uczniowie często zapominają odjąć 19 przed szukaniem pierwiastków i liczą $\Delta$ dla oryginalnej funkcji $f$ - to błąd. Zawsze najpierw upraszczamy nierówność do postaci $[\text{trójmian}]>0$.

⚠️ Uwaga: Przy symetrii osiowej względem $x=k$ wzór na obraz to $x^{\prime }=2k-x$, nie $x^{\prime }=x+k$ ani $x^{\prime }=k-x$. Tu $k=6$, więc $x^{\prime }=12-x$.

⚠️ Uwaga: W zadaniu b) celem jest uzasadnienie, że parabole są różne - wystarczy znaleźć jeden punkt (np. wierzchołek), który się nie zgadza. Nie trzeba porównywać całych wzorów. Pokazanie $W^{\prime }\ne W_1$ jest w pełni wystarczające!

Poprawna odpowiedź: a) $x\in (-\infty ,-1)\cup (7,\infty )$; b) obrazem wierzchołka $W=(3,3)$ w symetrii względem prostej $x=6$ jest $W^{\prime }=(9,3)$; parabola $y=(x-9{)}^2+6$ ma wierzchołek $W_1=(9,6)$, więc $W^{\prime }\ne W_1$ - parabole są różne.

Sposób 1 - Część a: rozwiązanie nierówności

Zapisujemy nierówność $f(x)-19>0$:

Wyróżnik i pierwiastki:

Trójmian $x^2-6x-7$ ma ramiona w górę ($a=1>0$), więc przyjmuje wartości dodatnie poza przedziałem $[-1,7]$:

Sposób 2 - Część b: porównanie wierzchołków

Wierzchołek funkcji $f$:

Obraz $W_f$ w symetrii względem prostej $x=6$.
Symetria osiowa względem prostej pionowej $x=6$ zmienia tylko pierwszą współrzędną:

Zatem:

Wierzchołek paraboli $y=(x-9{)}^2+6$:
Postać kanoniczna: $W_1=(9,6)$.

Porównanie:

Obrazy wierzchołków się różnią, a każda parabola ma dokładnie jeden wierzchołek. Gdyby parabola $y=(x-9{)}^2+6$ była obrazem $f$ w podanej symetrii, to wierzchołek obrazu musiałby być wierzchołkiem tej paraboli. Ponieważ tak nie jest - obrazem $f$ w tej symetrii nie jest parabola $y=(x-9{)}^2+6$.

Sposób 3 - Część b: wyznaczenie faktycznego obrazu $f$ w symetrii

Niech $(x,y)$ leży na wykresie obrazu; wtedy punkt $(12-x,y)$ leży na wykresie $f$:

Postać kanoniczna:

Faktyczny obraz: $y=(x-9{)}^2+3$, a zadana parabola to $y=(x-9{)}^2+6$ - są to różne parabole (przesunięte pionowo o $3$).

Komentarz dydaktyczny

Symetria osiowa zachowuje kształt paraboli oraz odległości - zmienia tylko kierunek poziomy. Najszybszy sposób odrzucenia hipotezy "to ta sama parabola": porównać wierzchołki.