Matematyka — zadanie 6

Do pewnego przepisu z książki kucharskiej należy przygotować $0,25$ litra płynu. Mamy do wyboru trzy szklanki w kształcie walca, o wewnętrznych wymiarach: pierwsza - o średnicy $6\text{ cm}$ i wysokości $10\text{ cm}$, druga - o średnicy $5,8\text{ cm}$ i wysokości $9,5\text{ cm}$ oraz trzecia - o średnicy $6\text{ cm}$ i wysokości $9\text{ cm}$. Której szklanki objętość jest najbliższa $0,25$ litra? Odpowiedź uzasadnij.

Poprawna odpowiedź: Druga szklanka (średnica 5,8 cm, wysokość 9,5 cm)

Jej objętość wynosi $V_2\approx 250,9{\text{ cm}}^3$, co jest najbliższe $250{\text{ cm}}^3=0,25\text{ l}$.

Sposób 1 - Obliczenie objętości każdej szklanki i porównanie różnic

Kluczowy fakt: $0,25\text{ l}=250{\text{ cm}}^3$. Szukamy, która szklanka ma objętość najbliższą $250{\text{ cm}}^3$.

Wzór na objętość walca:

gdzie $r$ to promień (połowa średnicy), $h$ to wysokość.

Szklanka 1: średnica $6\text{ cm}$, więc $r_1=3\text{ cm}$, $h_1=10\text{ cm}$

Różnica od $250{\text{ cm}}^3$:

Szklanka 2: średnica $5,8\text{ cm}$, więc $r_2=2,9\text{ cm}$, $h_2=9,5\text{ cm}$

Różnica od $250{\text{ cm}}^3$:

Szklanka 3: średnica $6\text{ cm}$, więc $r_3=3\text{ cm}$, $h_3=9\text{ cm}$

Różnica od $250{\text{ cm}}^3$:

Zestawienie różnic:

| Szklanka | Objętość | Różnica od 250 cm³ |
| 1 | $\approx 282,74{\text{ cm}}^3$ | $\approx 32,74{\text{ cm}}^3$ |
| 2 | $\mathbf{\approx }\mathbf{250}\mathbf{,}\mathbf{93}{\mathbf{\text{ cm}}}^{\mathbf{3}}$ | $\mathbf{\approx }\mathbf{0}\mathbf{,}\mathbf{93}{\mathbf{\text{ cm}}}^{\mathbf{3}}$ |
| 3 | $\approx 254,47{\text{ cm}}^3$ | $\approx 4,47{\text{ cm}}^3$ |

Wniosek: Szklanka 2 ma objętość najbliższą $250{\text{ cm}}^3$, ponieważ jej różnica od szukanej wartości wynosi niecały $1{\text{ cm}}^3$.

Sposób 2 - Porównanie bez kalkulatora (szacowanie przez $\pi \approx 3,14$)

Zamiast liczyć dokładne wartości, można obliczyć $\pi r^{2}h$ z przybliżeniem $\pi \approx 3,14$ i zaokrąglać sprytnie.

Szklanka 1:

Wyraźnie za dużo - różnica od 250 wynosi około $32,6{\text{ cm}}^3$. Odrzucamy.

Szklanka 3:

Różnica od 250 wynosi około $4,3{\text{ cm}}^3$.

Szklanka 2:

Różnica od 250 wynosi niecały $1{\text{ cm}}^3$.

Wniosek jest identyczny: szklanka 2 wygrywa.

Wzory z karty CKE

Dział 12 (Stereometria, s. 26-28) - objętość walca:

Wzór ten stosujemy do obliczenia objętości każdej ze szklanek (walce o promieniu $r$ i wysokości $h$). Pamiętamy, że $r=\frac{d}{2}$, gdzie $d$ to średnica - ten krok jest kluczowy i najczęściej pomijany!

Typowe pułapki i uwagi

⚠️ Uwaga: Zadanie podaje średnice, a wzór wymaga promieni. Użycie średnicy zamiast promienia daje objętość czterokrotnie zawyżoną!

⚠️ Uwaga: $0,25\text{ l}=250{\text{ cm}}^3$ - koniecznie przeliczyć litry na centymetry sześcienne przed porównaniem (1 l = 1000 cm³).

⚠️ Uwaga: Nie wystarczy powiedzieć, która szklanka ma „mniej więcej 250 cm³" - trzeba porównać bezwzględne różnice od wartości 250 i wskazać tę najmniejszą. To jest serce uzasadnienia w tym zadaniu.

Poprawna odpowiedź: druga szklanka ($V_2\approx 250,9{\text{ cm}}^3$) jest najbliższa $0,25\text{ l}=250{\text{ cm}}^3$.

Sposób 1 - Porównanie objętości walców

Zamiana jednostek:

Wzór na objętość walca: $V=\pi r^{2}h$, gdzie $r={\displaystyle \frac{d}{2}}$.

Szklanka 1 ($d=6\text{ cm}$, $h=10\text{ cm}$):

Szklanka 2 ($d=5,8\text{ cm}$, $h=9,5\text{ cm}$):

Szklanka 3 ($d=6\text{ cm}$, $h=9\text{ cm}$):

Sposób 2 - Obliczenie różnic od $250{\text{ cm}}^3$

Najmniejsza różnica ($0,9{\text{ cm}}^3$) dotyczy szklanki drugiej.

Wniosek

Do przygotowania $0,25$ litra płynu najlepiej nadaje się szklanka druga (o średnicy $5,8\text{ cm}$ i wysokości $9,5\text{ cm}$).

Komentarz dydaktyczny

Objętość walca rośnie kwadratowo z promieniem i liniowo z wysokością - niewielka zmiana średnicy (tu: z $6$ do $5,8\text{ cm}$) daje zauważalną zmianę objętości ($\approx 31{\text{ cm}}^3$). Przy $\pi$ warto używać $\pi \approx 3,1416$ lub pełnej dokładności kalkulatora.