Matematyka — zadanie 1

Lewa strona równania $1+x^2+x^4+x^6+\dots +x^{2n}+\dots =3$ jest sumą nieskończonego ciągu geometrycznego o ilorazie $x^2$. Z warunku zbieżności mamy $x^2<1$. Zatem dziedziną równania jest przedział $(-1,1)$. Równanie można zapisać w postaci $1+x^2(1+x^2+x^4+\dots )=3$. Stąd $1+3x^2=3$. Pierwiastkami ostatniego równania są liczby: $x_1=-\frac{\sqrt{6}}{3}$, $x_2=\frac{\sqrt{6}}{3}$ należące do dziedziny. Odpowiedź: Rozwiązaniami równania są liczby $x_1=-\frac{\sqrt{6}}{3}$, $x_2=\frac{\sqrt{6}}{3}$. Postępując w analogiczny sposób rozwiąż równanie: $1+x+x^2+x^3+\dots +x^n+\dots =2$.

Poprawna odpowiedź: $x={\displaystyle \frac{1}{2}}$

Sposób 1 - Wzór na sumę nieskończonego ciągu geometrycznego

Rozpoznajemy strukturę szeregu.

Lewa strona równania:

to suma nieskończonego ciągu geometrycznego o:

• pierwszym wyrazie $a_1=1$,
• ilorazie $q=x$.

Warunek zbieżności: szereg zbiega wtedy i tylko wtedy, gdy $|q|<1$, czyli:

To jest dziedzina równania.

Korzystamy ze wzoru na sumę nieskończonego ciągu geometrycznego:

Stawiamy równanie:

Rozwiązujemy:

Sprawdzamy dziedzinę: $x=\frac{1}{2}\in (-1,1)$ - tak, należy do dziedziny. ✓

Sposób 2 - Metoda analogiczna do przykładu (wyciągnięcie $x$ przed nawias)

Zadanie podpowiada metodę - skorzystamy dokładnie z tego samego triku co w przykładzie.

Zapisujemy lewą stronę inaczej:

Wyciągamy $x$ przed nawias z wyrazów od drugiego:

Zauważamy, że wyrażenie w nawiasie $(1+x+x^2+\dots )$ to dokładnie lewa strona naszego równania, czyli równa się $2$:

Dziedzina: $x=\frac{1}{2}\in (-1,1)$ - spełniona. ✓

Wzory z karty CKE

Dział 8 (Ciągi, s. 9-10) - wzór na sumę nieskończonego ciągu geometrycznego:

Użyliśmy tego wzoru w Sposobie 1 - podstawiliśmy $a_1=1$, $q=x$ i przyrównaliśmy do $2$.

Warunek zbieżności $|q|<1$ wyznaczył dziedzinę równania: $x\in (-1,1)$.

Typowe pułapki i uwaga

⚠️ Uwaga: Pamiętaj o dziedzinie! Równanie ma sens tylko dla $|x|<1$. Gdyby wynik był np. $x=2$, należałoby go odrzucić jako spoza dziedziny.

⚠️ Uwaga: Iloraz ciągu to $q=x$, a nie $q=x^2$ jak w przykładzie z zadania. Nie kopiuj ślepo - sprawdź jaki jest iloraz w swoim szeregu.

⚠️ Uwaga: Łatwo pomylić wzór $\frac{a_1}{1-q}$ z $\frac{a_1}{1+q}$ - szczególnie gdy $q<0$. Sprawdź znak mianownika.

Poprawna odpowiedź: $x=0,5$

Sposób 1 - Analogia do zadania wzorcowego

Lewa strona $1+x+x^2+x^3+\dots +x^n+\dots$ jest sumą nieskończonego szeregu geometrycznego o pierwszym wyrazie $a_1=1$ i ilorazie $q=x$.

Warunek zbieżności: $|x|<1$, czyli $x\in (-1,1)$ - to dziedzina równania.

Zapisanie równania w postaci wygodnej:

Wyrażenie w nawiasie jest identyczne z całą lewą stroną, czyli równe $2$. Zatem:

Sprawdzamy: $0,5\in (-1,1)$ ✓.

Sposób 2 - Wzór na sumę szeregu geometrycznego

Dla $|q|<1$: $S={\displaystyle \frac{a_1}{1-q}}$. Tu $a_1=1,q=x$:

Uwagi o punktacji

• 1 pkt - wyznaczenie dziedziny $(-1,1)$ (dopuszczalne $|x|<1$);
• 1 pkt - zapis $1+x(1+x+x^2+\dots )=2$;
• 1 pkt - zapis $1+2x=2$;
• 1 pkt - wyznaczenie $x=0,5$.

Trik: szereg geometryczny $1+q+q^2+\dots$ ma sumę ${\displaystyle \frac{1}{1-q}}$, ale szybciej jest „wyjąć" pierwszy wyraz i zauważyć, że reszta to ta sama suma - wtedy otrzymujemy równanie liniowe na sumę.