Matematyka — zadanie 2

Rysunek przedstawia fragment wykresu funkcji kwadratowej $f$.
a) Podaj miejsca zerowe funkcji $f$.
b) Podaj rozwiązania nierówności $f(x)\le 0$.
c) Podaj rozwiązania równania $f(x)=3$.

/matma-quiz/images/cke/MMA-P1G1P-021/z2.png

Poprawna odpowiedź:

a) Miejsca zerowe: $x=-1$ oraz $x=5$

b) $f(x)\le 0$ dla $x\in (-\infty ,-1⟩\cup ⟨5,+\infty )$

c) $x=0$ lub $x=4$

Sposób 1 - Odczyt z wykresu i właściwości paraboli

Krok 1 - Odczytaj miejsca zerowe (punkt a)

Miejsca zerowe funkcji to punkty przecięcia paraboli z osią $OX$. Z rysunku odczytujemy, że wykres przecina oś $OX$ w punktach:

Krok 2 - Określ kierunek ramion paraboli

Z rysunku widać, że parabola jest skierowana ramionami w dół (ma maksimum, nie minimum). To kluczowa obserwacja dla punktu b).

Krok 3 - Rozwiąż nierówność $f(x)\le 0$ (punkt b)

Parabola jest skierowana w dół, więc:

• Przyjmuje wartości nieujemne $(f(x)\ge 0)$ między miejscami zerowymi, czyli dla $x\in ⟨-1,5⟩$
• Przyjmuje wartości niedodatnie $(f(x)\le 0)$ poza miejscami zerowymi

Zatem:

Krok 4 - Wyznacz oś symetrii

Oś symetrii paraboli przebiega przez środek odcinka między miejscami zerowymi:

Zatem oś symetrii: $x=2$.

Krok 5 - Rozwiąż równanie $f(x)=3$ (punkt c)

Prosta $y=3$ przecina parabolę w dwóch punktach symetrycznych względem osi $x=2$. Z rysunku odczytujemy, że przecięcia następują dla $x=0$ oraz $x=4$.

Weryfikacja symetrii: środek między $0$ i $4$ to $\frac{0+4}{2}=2$ ✓ - oba punkty są symetryczne względem osi $x=2$.

Sposób 2 - Wyznaczenie wzoru funkcji i obliczenie algebraiczne

Krok 1 - Zapisz postać iloczynową

Skoro miejsca zerowe to $x_1=-1$ i $x_2=5$, a parabola jest skierowana w dół (współczynnik $a<0$):

Krok 2 - Wyznacz współczynnik $a$

Podstawiamy jeden z punktów z wykresu: z rysunku widać, że dla $x=0$ zachodzi $f(0)=3$:

Zatem:

Krok 3 - Sprawdź miejsca zerowe

$f(x)=0⟺(x+1)(x-5)=0⟺x=-1$ lub $x=5$ ✓

Krok 4 - Rozwiąż $f(x)\le 0$ algebraicznie

Mnożymy obie strony przez $-\frac{5}{3}$ (ujemna liczba - zmieniamy znak nierówności):

Iloczyn nieujemny, gdy oba czynniki mają ten sam znak:

• $x+1\ge 0$ i $x-5\ge 0$ → $x\ge 5$
• $x+1\le 0$ i $x-5\le 0$ → $x\le -1$

Wynik: $x\in (-\infty ,-1⟩\cup ⟨5,+\infty )$ ✓

Krok 5 - Rozwiąż $f(x)=3$ algebraicznie

Mnożymy obie strony przez $-\frac{5}{3}$:

$$x=0\text{lub}x=4$$ ✓

Wzory z karty CKE

Dział 7 (Funkcja kwadratowa, s. 7-9) - postać iloczynowa trójmianu:

Użyliśmy w Sposobie 2 do zapisu funkcji na podstawie miejsc zerowych.

Dział 7 (s. 7-9) - wzory Viète'a:

Użyliśmy pośrednio do wyznaczenia osi symetrii $p=\frac{x_1+x_2}{2}$.

Typowe pułapki i uwagi

⚠️ Uwaga: Kierunek ramion paraboli decyduje o znaku nierówności! Dla paraboli skierowanej w dół funkcja jest ujemna na zewnątrz miejsc zerowych - odwrotnie niż dla paraboli skierowanej w górę. Łatwo tu się pomylić.

⚠️ Uwaga: W punkcie b) nierówność jest nieostra ($\le$), więc miejsca zerowe $x=-1$ i $x=5$ należą do rozwiązania - przedziały domknięte $⟨⟩$, nie otwarte $()$.

⚠️ Uwaga: Przy szukaniu punktów $f(x)=3$ nie wystarczy odczytać jeden punkt z wykresu - zawsze są dwa punkty symetryczne względem osi symetrii. Sprawdź, czy obie wartości są symetryczne względem $x=2$: $\frac{0+4}{2}=2$ ✓

Poprawna odpowiedź:

• a) $x=-1$, $x=5$
• b) $x\in (-\infty ,-1⟩\cup ⟨5,+\infty )$
• c) $x=0$ lub $x=4$

Sposób 1 - Odczyt z wykresu

Z rysunku widać, że parabola otwiera się w dół ($a<0$) i przecina oś $OX$ w punktach $x=-1$ oraz $x=5$. Wierzchołek leży w punkcie o odciętej $x_w={\displaystyle \frac{-1+5}{2}}=2$.

a) Miejsca zerowe: to właśnie $x=-1$ i $x=5$.

b) $f(x)\le 0$: ponieważ parabola otwiera się w dół, $f(x)\le 0$ poza przedziałem miejsc zerowych:

c) $f(x)=3$: z wykresu odczytujemy punkty przecięcia paraboli z prostą $y=3$. Są to $x=0$ i $x=4$.

Sposób 2 - Wyznaczenie wzoru funkcji

Z miejsc zerowych $x=-1,x=5$: $f(x)=a(x+1)(x-5)$. Wierzchołek ma odciętą $x_w=2$, a z wykresu wartość $y_w=4$ (punkt wierzchołka nad osią $OX$):

Zatem $f(x)=-\frac{4}{9}(x+1)(x-5)$.

Dla $f(x)=3$:

(Jednak prostsze jest bezpośrednio odczytać $x=0,x=4$ z wykresu.)

Uwagi o punktacji

• 1 pkt za a) (oba miejsca zerowe);
• 1 pkt za b) (poprawny przedział);
• 2 pkt za c) (po 1 pkt za każde rozwiązanie).

Trik: gdy mamy wykres funkcji kwadratowej z widocznymi miejscami zerowymi, rozwiązania nierówności i równań odczytujemy bezpośrednio z rysunku - nie trzeba wyznaczać wzoru.