Matematyka — zadanie 10

Kupując los loterii można wygrać nagrodę główną, którą jest zestaw płyt kompaktowych lub jedną z $10$ nagród książkowych. Przy zakupie jednego losu prawdopodobieństwo wygrania nagrody książkowej jest równe $\frac{1}{7}$. Oblicz, ile jest losów pustych.

Poprawna odpowiedź: 59 losów pustych

Sposób 1 - Wyznaczenie liczby losów z definicji prawdopodobieństwa klasycznego

Co wiemy:

• nagród książkowych jest dokładnie 10
• nagród głównych jest dokładnie 1 (zestaw płyt CD)
• prawdopodobieństwo wygrania nagrody książkowej: $P(\text{książka})={\displaystyle \frac{1}{7}}$

Krok 1 - Wyznacz całkowitą liczbę losów.

Z definicji prawdopodobieństwa klasycznego:

Wiemy, że $P(\text{książka})={\displaystyle \frac{1}{7}}$, więc:

Łącznie jest 70 losów.

Krok 2 - Odejmij losy z nagrodami.

Sposób 2 - Przez prawdopodobieństwo losu pustego

Krok 1 - Wyznacz N tak samo jak wyżej: $N=70$.

Krok 2 - Policz prawdopodobieństwa wszystkich możliwych wyników i sprawdź, czy sumują się do 1.

Sprawdzenie (suma musi równać się 1):

Wynik potwierdzony: 59 losów pustych.

Wzory z karty CKE

Dział 14 (Rachunek prawdopodobieństwa, s. 29-30) - prawdopodobieństwo klasyczne:

gdzie $|A|$ to liczba sprzyjających wyników, a $|\Omega |$ to liczba wszystkich możliwych wyników.

Użyliśmy tego wzoru w Kroku 1: zdarzenie $A$ = „wylosowanie nagrody książkowej", $|A|=10$, $|\Omega |=N$.

Typowe pułapki i uwaga

⚠️ Uwaga: Nie zapomnij odjąć obu rodzajów nagród - zarówno 10 książkowych, jak i 1 nagrody głównej. Częsty błąd to obliczenie $70-10=60$ i pominięcie nagrody głównej.

⚠️ Uwaga: Zadanie mówi o ${\displaystyle \frac{1}{7}}$ jako prawdopodobieństwie wygrania nagrody książkowej - nie nagrody w ogóle. Gdybyś wziął ${\displaystyle \frac{1}{7}}$ za prawdopodobieństwo jakiejkolwiek nagrody, dostałbyś złą liczbę losów.

⚠️ Uwaga: Prawdopodobieństwo klasyczne zakłada, że każdy los jest jednakowo możliwy do wylosowania - to jest warunek, który tu przyjmujemy.

Poprawna odpowiedź: $59$ losów pustych

Sposób 1 - Klasyczne prawdopodobieństwo

Niech $n$ - łączna liczba losów. Liczba nagród książkowych to $10$. Prawdopodobieństwo wylosowania nagrody książkowej:

Łącznie losów: $n=70$. Wśród nich:

• $1$ nagroda główna (zestaw płyt),
• $10$ nagród książkowych,
• reszta to losy puste.

Liczba losów pustych:

Sposób 2 - Proporcja

Skoro $\frac{1}{7}$ losów daje nagrodę książkową i takich losów jest $10$, to wszystkich losów jest $7·10=70$. Po odjęciu $1$ nagrody głównej i $10$ książkowych zostaje $59$ losów pustych.

Uwagi o punktacji

• 1 pkt za wyznaczenie liczby wszystkich losów ($70$);
• 1 pkt za wyznaczenie liczby losów pustych ($59$).

Trik: klasyczne prawdopodobieństwo to $P={\displaystyle \frac{|A|}{|\Omega |}}$. Gdy znamy $P$ i $|A|$, wyznaczamy $|\Omega |={\displaystyle \frac{|A|}{P}}$. Pamiętaj, że losy puste to te, które nie są nagrodami - a nagród jest $1+10=11$.