Matematyka — zadanie 9

)_ Oblicz pole działki rekreacyjnej, której plan przedstawiony jest

/matma-quiz/images/cke/MMA-P1G1P-021/z9.png

. Zakładamy, że kąty ABC i ECD są kątami prostymi. D 4 m E C 10 m 8 m A 16 m B Odp. Pole działki jest równe _Egzamin maturalny z matematyki Arkusz I _7

Poprawna odpowiedź: $P=124{\text{ m}}^2$

Sposob 1 - podzial figury na trapez i trojkat

Dane z rysunku:

• $AB=16$ m, $BC=8$ m - kat $ABC$ jest prosty
• $CE=10$ m, $CD=4$ m - kat $ECD$ jest prosty
• punkt $E$ lezy na odcinku $AD$

Krok 1 - podziel dzialke na dwie znane figury.

Figura $ABCDE$ rozpada sie na:

• trapez prostokatny $ABCE$ o podstawach $AB=16$ m i $CE=10$ m oraz wysokosci $BC=8$ m (kat prosty przy $B$),
• trojkat prostokatny $CDE$ o przyprostokatnych $CE=10$ m i $CD=4$ m (kat prosty przy $C$).

Krok 2 - pole trapezu $ABCE$.

Krok 3 - pole trojkata prostokatnego $CDE$.

Krok 4 - pole calej dzialki.

Sposob 2 - prostokat minus trojkat (kontrola wyniku)

Dolozmy do trapezu prostokat $ABCF$ o bokach $AB=16$ m i $BC=8$ m, a nastepnie odejmijmy nadmiar.

Prostokat $ABCF$:

Gorny bok $CE=10$ m jest krotszy od $AB=16$ m o $16-10=6$ m, wiec nad odcinkiem $CE$ brakuje trojkata o podstawie $6$ m i wysokosci $8$ m:

Zatem trapez ma pole $128-24=104$ m${}^2$, a po dodaniu trojkata $CDE$ ($20$ m${}^2$):

Wynik zgodny ze Sposobem 1.

Wzory z karty CKE

Dzial 11 (Planimetria) - pole trapezu:

gdzie $a,b$ to podstawy, $h$ - wysokosc. Uzyte do trapezu $ABCE$.

Pole trojkata prostokatnego - polowa iloczynu przyprostokatnych:

Uzyte do trojkata $CDE$.

Orientacyjny schemat punktowania (odtworzony przez AI - NIE oficjalny klucz CKE)

📋 Klucz CKE: pole dzialki wynosi $124$ m${}^2$. Punktowane: obliczenie pola trapezu $ABCE$ ($104$ m${}^2$), obliczenie pola trojkata $CDE$ ($20$ m${}^2$) oraz zsumowanie na pole calej dzialki ($124$ m${}^2$).

Typowe pulapki

Uwaga: kluczowy jest poprawny podzial figury. Jesli pomylisz, ktore odcinki sa podstawami trapezu ($AB$ i $CE$), a ktory wysokoscia ($BC$), wyjdzie zly wynik.

Uwaga: w trojkacie $CDE$ przyprostokatnymi sa $CE=10$ m i $CD=4$ m (kat prosty przy $C$) - odcinek $DE$ to przeciwprostokatna i NIE uzywamy go do pola.

Poprawna odpowiedź: $P=124{\text{ m}}^2$

Sposób 1 - Rozbicie na trójkąt i trapez

Dzielimy figurę na dwie części:

• trójkąt prostokątny $CED$ (kąt prosty w $C$): $CE=10$ m, $CD=4$ m;
• trapez prostokątny $ABCE$ (kąty proste przy $A$ i $B$): podstawy $AB=16$ m oraz $CE=10$ m, wysokość $BC=8$ m.

Pole trójkąta $CED$:

Pole trapezu $ABCE$:

Pole działki:

Sposób 2 - Rozbicie na prostokąt i dwa trójkąty

Można też dostawić prostokąt do trapezu i odjąć nadmiary - ale metoda powyższa jest najkrótsza.

Uwagi o punktacji

• 1 pkt za obliczenie pola trójkąta $CED$ $(20$ m${}^2$);
• 1 pkt za obliczenie pola trapezu $ABCE$ $(104$ m${}^2$);
• 1 pkt za podanie pola całej działki $(124$ m${}^2$).

Trik: przy figurach złożonych zawsze dziel na znane kształty (prostokąty, trójkąty, trapezy). Wzór na pole trapezu: $P={\displaystyle \frac{(a+b)·h}{2}}$.