Matematyka — zadanie 3

Upraszczając pierwiastek kwadratowy z liczby $27+10\sqrt{2}$, zapiszemy ją w postaci kwadratu sumy dwóch liczb. Postępujemy następująco: $$\sqrt{27+10\sqrt{2}}=\sqrt{25+10\sqrt{2}+2}=\sqrt{(5{)}^2+2·5·\sqrt{2}+(\sqrt{2}{)}^2}=\sqrt{(5+\sqrt{2}{)}^2}=5+\sqrt{2}$$ Przeanalizuj ten przykład, a następnie, stosując analogiczne postępowanie, uprość $\sqrt{11+6\sqrt{2}}$.

Poprawna odpowiedź: $3+\sqrt{2}$

Sposób 1 - Rozpoznanie kwadratu sumy (analogicznie do przykładu)

Kluczowe pytanie: Czy możemy napisać $11+6\sqrt{2}$ jako $a^2+2ab+b^2$ dla jakichś liczb $a$ i $b$?

Ze wzoru skróconego mnożenia wiemy, że:

Szukamy $a$ i $b$ takich, że:

Obserwacja: Składnik $6\sqrt{2}$ to część "środkowa" $2ab$. Spróbujmy $b=\sqrt{2}$ (bo pod pierwiastkiem jest $\sqrt{2}$):

Sprawdzenie: $a^2+b^2=9+2=11$ ✓ - zgadza się z wyrazem wolnym!

Przepisujemy i upraszczamy:

(ostatni krok: $\sqrt{x^2}=|x|$, ale $3+\sqrt{2}>0$, więc $|3+\sqrt{2}|=3+\sqrt{2}$)

Wynik: $\sqrt{11+6\sqrt{2}}=3+\sqrt{2}$

Sposób 2 - Weryfikacja przez podniesienie do kwadratu

Zamiast szukać - sprawdzamy, czy wynik jest poprawny.

Jeśli $\sqrt{11+6\sqrt{2}}=3+\sqrt{2}$, to po podniesieniu obu stron do kwadratu powinniśmy dostać $11+6\sqrt{2}$.

Wynik się zgadza. Ponieważ $3+\sqrt{2}>0$, mamy pewność, że to jest dokładnie ta nieujemna wartość, której szukamy.

Wzory z karty CKE

Dział 6 (Wzory skróconego mnożenia, s. 7) - wzór na kwadrat sumy:

Użyliśmy go w obie strony: raz rozkładając $11+6\sqrt{2}$ na pełny kwadrat, a raz weryfikując wynik.

Dział 2 (Potęgi i pierwiastki, s. 4-5) - własność:

Użyta w ostatnim kroku, gdy wyciągaliśmy wyrażenie spod pierwiastka. Ponieważ $a=3+\sqrt{2}>0$, wartość bezwzględna znika.

Typowe pułapki i uwagi

⚠️ Uwaga: $\sqrt{A+B}\ne \sqrt{A}+\sqrt{B}$ - to bardzo częsty błąd! Nie można "rozdzielić" pierwiastka po dodawaniu. Dlatego właśnie szukamy kwadratu sumy zamiast liczyć $\sqrt{11}+\sqrt{6\sqrt{2}}$.

⚠️ Uwaga: Przy szukaniu $a$ i $b$ nie ma jednej "mechanicznej" procedury - trzeba spojrzeć na składnik z $\sqrt{2}$ i domyślić się podziału. Klucz: część niewymierna (tu $6\sqrt{2}$) musi być dokładnie "środkowym wyrazem" $2ab$.

⚠️ Uwaga: Na końcu korzystamy z $\sqrt{x^2}=|x|$, a nie $\sqrt{x^2}=x$. W tym zadaniu wynik jest dodatni, ale w ogólności zawsze warto sprawdzić znak!

Poprawna odpowiedź: $\sqrt{11+6\sqrt{2}}=3+\sqrt{2}$.

Sposób 1 - Analogicznie do podanego wzoru

Chcemy zapisać wyrażenie pod pierwiastkiem w postaci $(a+b\sqrt{2}{)}^2$, gdzie $a,b$ - liczby całkowite.

Zauważamy, że $11=9+2$, więc:

Dalej rozpoznajemy wzór skróconego mnożenia $(a+b{)}^2=a^2+2ab+b^2$, biorąc $a=3$ oraz $b=\sqrt{2}$:

Zatem:

(ponieważ $3+\sqrt{2}>0$).

Sposób 2 - Metoda nieoznaczonych współczynników

Zakładamy, że $\sqrt{11+6\sqrt{2}}=a+b\sqrt{2}$ dla pewnych $a,b\in ℝ$, $a+b\sqrt{2}>0$. Podnosimy do kwadratu:

Porównujemy części wymierną i niewymierną:

Z drugiego równania $ab=3$, więc $b={\displaystyle \frac{3}{a}}$. Podstawiamy:

Podstawienie $t=a^2\ge 0$: $t^2-11t+18=0$; $\Delta =121-72=49$; $t={\displaystyle \frac{11\pm 7}{2}}$, czyli $t=9$ lub $t=2$.

Dla $a^2=9$: $a=3$, $b=1$ → $a+b\sqrt{2}=3+\sqrt{2}$.
Dla $a^2=2$: $a=\sqrt{2}$, $b={\displaystyle \frac{3}{\sqrt{2}}}={\displaystyle \frac{3\sqrt{2}}{2}}$ → $\sqrt{2}+3=3+\sqrt{2}$ (to samo).

Weryfikacja

$$(3+\sqrt{2}{)}^2=9+6\sqrt{2}+2=11+6\sqrt{2}$$ ✓

Komentarz dydaktyczny

Rozkładanie $\sqrt{a+b\sqrt{c}}$ do postaci $x+y\sqrt{c}$ jest możliwe, gdy $\sqrt{a^2-b^{2}c}$ jest liczbą wymierną. Tutaj: $\sqrt{{11}^2-6^2·2}=\sqrt{121-72}=\sqrt{49}=7\in \mathbb{Q}$ ✓.