Matematyka — zadanie 4

Równanie postaci $C=\frac{5}{9}·F-\frac{160}{9}$, ustala zależność między temperaturą, wyrażoną w stopniach Celsjusza $(C)$ oraz Fahrenheita $(F)$. a) Oblicz, ile stopni w skali Fahrenheita, ma wrząca w temperaturze ${100}^{\circ }C$ woda. b) Wyznacz taką temperaturę, przy której liczba stopni w skali Celsjusza jest równa liczbie stopni w skali Fahrenheita.

Poprawna odpowiedź:

a) Woda wrząca w $100°\text{C}$ ma temperaturę $F=212°\text{F}$

b) Temperatura, przy której obie skale wskazują tę samą wartość liczbową: $C=F=-40°$

Sposób 1 - podstawienie i rozwiązanie równania

Część a)

Mamy wzór:

Podstawiamy $C=100$ i szukamy $F$:

Mnożymy obie strony przez $9$, żeby pozbyć się mianowników:

Przenosimy $-160$ na lewą stronę:

Dzielimy obie strony przez $5$:

Woda wrząca ma temperaturę $212°\text{F}$.

Część b)

Szukamy temperatury, przy której liczba stopni Celsjusza równa się liczbie stopni Fahrenheita, czyli $C=F$.

Podstawiamy $F=C$ do wzoru:

Mnożymy obie strony przez $9$:

Przenosimy $5C$ na lewą stronę:

Ponieważ przyjęliśmy $F=C$, mamy $F=-40$.

W temperaturze $-40°$ obie skale wskazują tę samą wartość liczbową.

Sposób 2 - wyznaczenie wzoru odwrotnego (F w zależności od C)

Część a) - wzór odwrotny

Przekształcamy wzór $C=\frac{5}{9}·F-\frac{160}{9}$, żeby wyrazić $F$ przez $C$:

To klasyczny wzór znany z fizyki. Podstawiamy $C=100$:

Wynik taki sam: $F=212°\text{F}$. ✓

Część b) - weryfikacja graficzna (intuicja)

Równanie $C=F$ to prosta $y=x$ na płaszczyźnie $(F,C)$.

Wzór $C=\frac{5}{9}F-\frac{160}{9}$ to prosta o nachyleniu $\frac{5}{9}$ i wyrazie wolnym $-\frac{160}{9}\approx -17,8$.

Szukamy przecięcia tych dwóch prostych. Ich przecięcie to punkt $(-40,-40)$, co zgadza się z Częścią b) Sposobu 1. ✓

Wzory z karty CKE

W tym zadaniu nie używamy konkretnych wzorów z karty CKE - wystarczą podstawowe działania algebraiczne (mnożenie przez mianownik, przenoszenie wyrazów).

Możemy jednak wskazać, że zadanie opiera się na:

• Rozwiązywaniu równania liniowego jednej niewiadomej (działania jak przy prostej $y=ax+b$ z Działu 11, s. 22)

Typowe pułapki i uwagi

⚠️ Uwaga: W części a) łatwo zapomnieć pomnożyć obie strony równania przez $9$. Jeśli pomnożysz tylko prawą stronę - popełnisz błąd i otrzymasz złą wartość $F$.

⚠️ Uwaga: W części b) kluczowe jest poprawne ustawienie warunku: $C=F$. Uczniowie często mylnie piszą $C=-F$ lub próbują przyrównać coś innego. Warunek brzmi dosłownie: ta sama liczba w obu skalach.

⚠️ Uwaga: Wynik $-40°$ jest ujemny - to poprawna odpowiedź, nie błąd! Intuicja podpowiada, że takie przecięcie skal musi być w niskich temperaturach (skala Fahrenheita rośnie wolniej niż Celsjusza), więc wynik ujemny ma pełny sens fizyczny.

Poprawna odpowiedź: a) $F={212}^{\circ }F$; b) $C=F=-{40}^{\circ }$.

Sposób 1 - Bezpośrednie podstawienie

a) Podstawienie $C=100$:

Stąd woda wrze przy $F={212}^{\circ }F$.

b) Warunek $C=F$.
Podstawiamy $C=F$ do równania:

Zatem $C=F=-{40}^{\circ }$.

Sposób 2 - Wyznaczenie $F$ z równania (odwrócenie funkcji)

Z równania $C={\displaystyle \frac{5}{9}}F-{\displaystyle \frac{160}{9}}$ wyznaczamy $F$:

a) $F(100)={\displaystyle \frac{9}{5}}·100+32=180+32=212$ ✓

b) $F=C$ daje $C={\displaystyle \frac{9}{5}}C+32$, czyli $-{\displaystyle \frac{4}{5}}C=32$ → $C=-40$ ✓

Weryfikacja

Dla $F=-40$:
$$C={\displaystyle \frac{5}{9}}·(-40)-{\displaystyle \frac{160}{9}}={\displaystyle \frac{-200-160}{9}}={\displaystyle \frac{-360}{9}}=-40$$ ✓

Komentarz dydaktyczny

Skale Celsjusza i Fahrenheita pokrywają się tylko w jednym punkcie, $-{40}^{\circ }$, co jest znanym faktem fizycznym. Wzór $F={\displaystyle \frac{9}{5}}C+32$ warto znać - jest standardem w konwersji temperatur.