Matematyka — zadanie 5

Dany jest trójkąt, którego dwa boki mają długości $8\text{ cm}$ i $12\text{ cm}$, kąt zawarty między tymi bokami ma miarę ${120}^{\circ }$. Oblicz długość promienia okręgu opisanego na tym trójkącie.

Poprawna odpowiedź: $R={\displaystyle \frac{4\sqrt{57}}{3}}\text{ cm}$

Sposób 1 - Twierdzenie cosinusów + twierdzenie sinusów

Krok 1: Wyznaczamy brakujący bok trójkąta.

Oznaczmy boki: $a=8\text{ cm}$, $b=12\text{ cm}$, kąt między nimi $\gamma =120°$. Szukamy boku $c$ (naprzeciwko kąta $\gamma$).

Ze twierdzenia cosinusów:

Pamiętamy: $\cos 120°=-\frac{1}{2}$, więc:

Krok 2: Wyznaczamy promień okręgu opisanego.

Ze twierdzenia sinusów:

Pamiętamy: $\sin 120°=\sin (180°-60°)=\sin 60°={\displaystyle \frac{\sqrt{3}}{2}}$, więc:

Wyłudzamy mianownik:

Zatem:

Sposób 2 - Pole trójkąta + wzór $R={\displaystyle \frac{abc}{4P}}$

Krok 1: Obliczamy pole trójkąta.

Ze wzoru na pole przez dwa boki i kąt między nimi:

Krok 2: Używamy wzoru na promień okręgu opisanego.

Z planimetrii (karta CKE): $P={\displaystyle \frac{abc}{4R}}$, stąd $R={\displaystyle \frac{abc}{4P}}$.

Mamy: $a=8$, $b=12$, $c=4\sqrt{19}$ (z kroku 1 Sposobu 1), $P=24\sqrt{3}$:

Oba sposoby dają ten sam wynik - potwierdzenie poprawności.

Wzory z karty CKE

Dział 10 (Planimetria, s. 15-16) - twierdzenie cosinusów:

Użyte w Sposobie 1 do wyznaczenia trzeciego boku trójkąta.

Dział 10 (Planimetria, s. 16) - twierdzenie sinusów i promień okręgu opisanego:

Kluczowy wzór w Sposobie 1 - bezpośrednio dał nam $R$.

Dział 10 (Planimetria, s. 16) - pole trójkąta przez dwa boki i kąt:

Użyte w Sposobie 2 do obliczenia pola.

Dział 10 (Planimetria, s. 16) - wzór na promień okręgu opisanego przez pole:

Kluczowy wzór w Sposobie 2.

Dział 9 (Trygonometria, s. 14) - wzór redukcyjny:

Użyty przy uproszczeniu $\sin 120°=\sin 60°={\displaystyle \frac{\sqrt{3}}{2}}$.

Typowe pułapki i uwagi

⚠️ Uwaga: $\cos 120°=-\frac{1}{2}$, nie $+\frac{1}{2}$! Kąt rozwarty ma ujemny cosinus. Pomylenie znaku zmienia $+96$ na $-96$ i daje błędny wynik $c^2=112$.

⚠️ Uwaga: Przy upraszczaniu $\sqrt{304}$ pamiętaj rozłożyć: $304=16·19$, więc $\sqrt{304}=4\sqrt{19}$. Nie zostawiaj $\sqrt{304}$ bez uproszczenia - wynikowy $R$ się nie uprości.

⚠️ Uwaga: Przy wyłudzaniu mianownika: ${\displaystyle \frac{\sqrt{19}}{\sqrt{3}}}={\displaystyle \frac{\sqrt{19}·\sqrt{3}}{3}}={\displaystyle \frac{\sqrt{57}}{3}}$. Błąd pojawia się gdy uczeń pisze $\sqrt{19/3}$ zamiast ${\displaystyle \frac{\sqrt{57}}{3}}$ - formalnie równoważne, ale niepoprawna forma z kartą wzorów.

Poprawna odpowiedź: $R={\displaystyle \frac{4\sqrt{57}}{3}}\text{ cm}$.

Sposób 1 - Twierdzenie cosinusów + twierdzenie sinusów

Krok 1. Długość trzeciego boku (tw. cosinusów).
Oznaczenia: boki trójkąta $b=8$, $c=12$, kąt między nimi $\alpha ={120}^{\circ }$, trzeci bok $a$ leży naprzeciw kąta $\alpha$. Wtedy:

więc:

Krok 2. Promień okręgu opisanego (tw. sinusów).
Dla boku $a$ naprzeciw kąta $\alpha ={120}^{\circ }$:

Sposób 2 - Wzór na pole + wzór $R={\displaystyle \frac{abc}{4P}}$

Pole trójkąta:

Promień okręgu opisanego:

Weryfikacja numeryczna

Sprawdzenie przez twierdzenie sinusów: ${\displaystyle \frac{a}{\sin \alpha }}={\displaystyle \frac{4\sqrt{19}}{\sqrt{3}/2}}\approx {\displaystyle \frac{17,44}{0,866}}\approx 20,13=2R$ ✓.

Komentarz dydaktyczny

Kąt rozwarty (tu ${120}^{\circ }$) oznacza, że trójkąt jest rozwartokątny - środek okręgu opisanego leży na zewnątrz trójkąta. Promień okręgu opisanego zawsze wyznaczamy z twierdzenia sinusów po znalezieniu boku naprzeciw znanego kąta.