Matematyka — zadanie 3

Dane dotyczące wzrostu chłopców z klasy II B przedstawione są na diagramie. a) Oblicz średni wzrost chłopców z klasy II B (podaj wynik dokładny). b) Ilu chłopców z klasy II B ma wzrost wyższy od średniego?

Poprawna odpowiedź:

a) Średni wzrost chłopców z klasy II B wynosi 167,4 cm

b) 7 chłopców ma wzrost wyższy od średniego

Sposób 1 - Średnia ważona (bezpośrednie obliczenie)

Odczytujemy dane z diagramu (zestawiamy w tabeli):

| Wzrost $x_i$ (cm) | Liczba chłopców $n_i$ | $x_i·n_i$ |
| 160 | 2 | 320 |
| 164 | 1 | 164 |
| 168 | 3 | 504 |
| 170 | 2 | 340 |
| 172 | 1 | 172 |
| 174 | 1 | 174 |
| Razem | 10 | 1674 |

Obliczamy sumę wzrostów:

Obliczamy średnią arytmetyczną (całkowita liczba chłopców $n=10$):

Odpowiedź na część b):

Szukamy chłopców o wzroście ściśle większym niż $167,4$ cm:

• wzrost 168 cm → 3 chłopców
• wzrost 170 cm → 2 chłopców
• wzrost 172 cm → 1 chłopiec
• wzrost 174 cm → 1 chłopiec

Sposób 2 - Metoda odchyleń od wartości bazowej

Zamiast liczyć dużą sumę, wybieramy wartość bazową $b=170$ cm (wygodna środkowa wartość) i obliczamy odchylenia każdego wzrostu od niej.

| Wzrost $x_i$ | $d_i=x_i-170$ | $n_i$ | $d_i·n_i$ |
| 160 | $-10$ | 2 | $-20$ |
| 164 | $-6$ | 1 | $-6$ |
| 168 | $-2$ | 3 | $-6$ |
| 170 | $0$ | 2 | $0$ |
| 172 | $+2$ | 1 | $+2$ |
| 174 | $+4$ | 1 | $+4$ |
| Razem | | 10 | $-26$ |

Średnie odchylenie od wartości bazowej:

Średni wzrost:

Metoda ta jest szybsza, gdy wartości wzrostu są duże - operujemy na małych odchyleniach zamiast na liczbach ~170.

Wzory z karty CKE

Dział 15 (Parametry danych statystycznych, s. 31-32) - wzór na średnią arytmetyczną:

W wersji ważonej (gdy wartości się powtarzają):

Używamy tego wzoru w Sposobie 1 - każdy wzrost mnoży się przez liczbę chłopców o tym wzroście.

Typowe pułapki i uwagi

⚠️ Uwaga: Pamiętaj, że pytanie b) pyta o wzrost wyższy od średniego (czyli ściśle $>167,4$), nie wyższy lub równy. Wzrostu dokładnie równego $167,4$ cm żaden chłopiec nie ma (i nie może mieć, bo wzrost to liczba całkowita), ale w innych zadaniach granica może trafić dokładnie na jedną z wartości - wtedy nie wliczaj jej do „wyższy od średniego".

⚠️ Uwaga: Częsty błąd to policzenie liczby różnych wartości wzrostu powyżej średniej (tu: 4 wartości - 168, 170, 172, 174) zamiast liczby chłopców o tych wzrostach. Zawsze wróć do diagramu i zsumuj częstości!

⚠️ Uwaga: Przy odczytywaniu diagramu słupkowego sprawdź dokładnie skalę osi - jeden „kwadracik" może oznaczać 1, 2 lub 5 uczniów. Błędne odczytanie częstości zaburza całe obliczenie.

Poprawna odpowiedź:

• a) Średni wzrost: $167,4$ cm
• b) 7 chłopców

Sposób 1 - Obliczenie średniej ważonej

Z diagramu odczytujemy liczby chłopców o danym wzroście:
| Wzrost [cm] | 164 | 165 | 166 | 167 | 168 | 169 | 170 | 171 | 172 |
| Liczba | 2 | 0 | 4 | 2 | 3 | 1 | 2 | 0 | 1 |

Łączna liczba chłopców: $2+4+2+3+1+2+1=15$.

Suma wszystkich wzrostów:

Średnia:

b) Chłopcy o wzroście wyższym od $167,4$ cm to ci o wzroście $168,169,170,172$ cm:

Sposób 2 - Krok po kroku z diagramu

Najpierw zliczamy łącznie $N=15$ chłopców. Potem sumujemy iloczyny wzrost × liczba i dzielimy przez $15$. Wynik $167,4$ cm.

Dla części b) porównujemy każdą wartość wzrostu z $167,4$ - wyższe są: $168,169,170,172$. Zliczamy: $3+1+2+1=7$.

Uwagi o punktacji

• 1 pkt za wyznaczenie $N=15$;
• 1 pkt za poprawne odczytanie danych z diagramu;
• 1 pkt za obliczenie średniej $167,4$ cm;
• 1 pkt za liczbę chłopców wyższych od średniej.

Trik: średnia ważona to $\overline{x}={\displaystyle \frac{\sum n_i{x}_i}{\sum n_i}}$. Pamiętaj, że dzielimy przez łączną liczbę obserwacji, nie liczbę różnych wartości.