Matematyka — zadanie 4

Liczby $102,105,108,111,\dots$ są kolejnymi, początkowymi wyrazami pewnego ciągu arytmetycznego $(a_n)$. Zapisz wzór ogólny na $n$-ty wyraz tego ciągu. Oblicz wyraz $a_{81}$.

Poprawna odpowiedź: $a_n=3n+99$, $a_{81}=342$

Sposób 1 - odczytanie parametrów i podstawienie do wzoru

Krok 1: Odczytaj pierwszy wyraz i różnicę ciągu.

Z treści mamy kolejne wyrazy: $102,105,108,111,\dots$

• Pierwszy wyraz: $a_1=102$
• Różnica: $r=105-102=3$

Sprawdzamy: $108-105=3$ ✓, $111-108=3$ ✓ - to faktycznie ciąg arytmetyczny.

Krok 2: Podstaw do wzoru ogólnego.

Krok 3: Oblicz $a_{81}$.

Sposób 2 - weryfikacja przez własność ciągu arytmetycznego

Wiemy, że w ciągu arytmetycznym każdy wyraz to poprzedni plus $r$. Możemy myśleć o tym inaczej: $a_n$ to $a_1$ powiększone o $(n-1)$ kroków po $3$.

Dla $a_{81}$ robimy $80$ kroków od $a_1=102$:

Weryfikacja wzoru ogólnego - sprawdźmy kilka wyrazów:

• $a_1=3·1+99=102$ ✓
• $a_2=3·2+99=105$ ✓
• $a_3=3·3+99=108$ ✓

Wzór działa.

Wzory z karty CKE

Dział 8 (Ciągi, s. 9-10) - wzór ogólny ciągu arytmetycznego:

Użyliśmy tego w Sposobie 1 jako punkt wyjścia. To jedyna potrzebna tu formuła z karty.

Typowe pułapki

⚠️ Uwaga: Najczęstszy błąd to pomylenie $(n-1)·r$ z $n·r$. Wtedy wychodzi $a_n=3n+102$ zamiast $3n+99$, co daje $a_1=105$ - o jeden za dużo!

⚠️ Uwaga: Przy obliczaniu $a_{81}$ łatwo wstawić $80$ zamiast $81$ (lub odwrotnie). Pamiętaj: do wzoru ogólnego wstawiasz $n=81$ bez żadnych korekt.

⚠️ Uwaga: Upraszczaj $a_n=102+3(n-1)$ do postaci $3n+99$ - nauczyciele często wymagają wzoru w postaci $a_n=\dots$ (z $n$, bez nawiasów). Zostaw wynik w uproszczonej formie.

Poprawna odpowiedź: $a_n=3n+99$, $a_{81}=342$

Sposób 1 - Wzór na ciąg arytmetyczny

Z ciągu odczytujemy:

• pierwszy wyraz: $a_1=102$;
• różnica: $r=105-102=3$.

Wzór ogólny ciągu arytmetycznego: $a_n=a_1+(n-1)r$.

Wyraz $a_{81}$:

Sposób 2 - Obliczenie $a_{81}$ bezpośrednio ze wzoru

Uwagi o punktacji

• 2 pkt za zapisanie wzoru ogólnego $a_n=3n+99$ (1 pkt za podanie $a_1$ i $r$);
• 1 pkt za obliczenie $a_{81}=342$.

Trik: różnicę ciągu arytmetycznego liczymy jako $r=a_2-a_1$. Wzór $a_n=a_1+(n-1)r$ można zawsze rozwinąć do postaci $a_n=An+B$ - wtedy $A=r$, $B=a_1-r$.