Matematyka — zadanie 5

Przed wejściem do przychodni lekarskiej znajdują się schody mające $8$ stopni po $15\text{ cm}$ wysokości każdy. Postanowiono zbudować podjazd dla niepełnosprawnych o nachyleniu $7^{\circ }$. Oblicz długość podjazdu. Wynik podaj w zaokrągleniu do $10\text{ cm}$.

Poprawna odpowiedź: ok. 980 cm

Sposób 1 - Trygonometria (sinus nachylenia)

Wyznaczamy całkowitą wysokość schodów.

Schody mają 8 stopni, każdy po 15 cm wysokości:

Rozumienie geometrii podjazdu.

Podjazd tworzy trójkąt prostokątny:

• przyprostokątna pionowa = całkowita wysokość = $h=120$ cm
• kąt nachylenia podjazdu do podłoża = $7°$
• szukamy długości podjazdu = przeciwprostokątna (boku ukośnego)

Relacja trygonometryczna:

Stąd:

Z tablicy (karta CKE, s. 34) lub kalkulatora: $\sin 7°\approx 0,1219$

Zaokrąglamy do 10 cm:

$$d\approx 980\text{ cm}$$

Sposób 2 - Weryfikacja przez tangensa

Zamiast sinusa możemy podejść przez tangens i sprawdzić wynik.

Rzut poziomy (podstawa trójkąta):

Teraz z twierdzenia Pitagorasa liczymy długość podjazdu (przeciwprostokątną):

Po zaokrągleniu do 10 cm: $d\approx 980$ cm ✓

Wynik zgodny z Metodą 1.

Wzory z karty CKE

Dział 9 (Trygonometria, s. 11-12) - definicja sinusa w trójkącie prostokątnym:

W naszym zadaniu: kąt $\alpha =7°$, przyprostokątna pionowa $a=120$ cm, szukamy $c$ (długości podjazdu).

Dział 17 (Tablica wartości funkcji trygonometrycznych, s. 34) - wartość $\sin 7°\approx 0,1219$ odczytana z tablicy na ostatniej stronie karty.

Typowe pułapki i uwagi

⚠️ Uwaga: Nie myl wysokości jednego stopnia z całkowitą wysokością. Całkowita wysokość to $8\times 15=120$ cm - tu uczniowie często piszą samo 15 cm i liczą dalej!

⚠️ Uwaga: Długość podjazdu to przeciwprostokątna, nie podstawa trójkąta (rzut poziomy). Schemat: nachylenie 7° jest między poziomem a podjazdem, więc sinus łączy wysokość z długością ukośną - NIE z rzutem poziomym.

⚠️ Uwaga: Zaokrąglenie "do 10 cm" oznacza, że wynik $984,4$ cm zaokrąglamy do 980 cm (cyfra jedności i dziesiątek → 0). Zaokrąglanie do 10 cm = patrzymy na cyfrę jedności: $4<5$, więc w dół.

Poprawna odpowiedź: $\approx 980$ cm

Sposób 1 - Trygonometria w trójkącie prostokątnym

Krok 1 - wysokość schodów:

Krok 2 - rysunek: podjazd to przeciwprostokątna $AC$ trójkąta prostokątnego o przyprostokątnej $BC=120$ cm i kącie $\angle CAB=7^{\circ }$.

Krok 3 - sinus kąta ostrego:

Krok 4 - podstawienie (z tablic $\sin 7^{\circ }\approx 0,1219$):

Krok 5 - zaokrąglenie do $10$ cm:

Sposób 2 - Użycie tangensa i twierdzenia Pitagorasa

$\tan 7^{\circ }={\displaystyle \frac{BC}{AB}}\Rightarrow AB={\displaystyle \frac{120}{\tan 7^{\circ }}}={\displaystyle \frac{120}{0,1228}}\approx 977,2$ cm.
Z twierdzenia Pitagorasa: $AC=\sqrt{A{B}^2+B{C}^2}=\sqrt{977,2^2+{120}^2}\approx 984,5$ cm $\approx 980$ cm.

Uwagi o punktacji

• 1 pkt za rysunek lub oznaczenia;
• 1 pkt za obliczenie wysokości $BC=120$ cm;
• 1 pkt za odczyt $\sin 7^{\circ }=0,1219$ (lub innego poprawnego przybliżenia);
• 2 pkt za obliczenie długości podjazdu i podanie wyniku z zaokrągleniem ($980$ cm).

Trik: przy małych kątach $\sin \alpha \approx \alpha$ w radianach - ale w zadaniu maturalnym zawsze używamy tablic!