Matematyka — zadanie 6

Ciąg $(a_n)$ określony jest wzorem $\{\begin{array}{c}{a}_1=1\hfill \\ a_2=2\hfill \\ a_{n+2}=2^{n-1}+a_n+a_{n+1}\hfill \end{array}$ dla $n\in N⧵\{0\}$. Wyznacz czwarty wyraz tego ciągu.

Poprawna odpowiedź: $a_4=8$

Sposób 1 - iteracyjne wyznaczanie kolejnych wyrazów

Mamy dane:

oraz regułę rekurencyjną:

Wyznaczamy $a_3$ - podstawiamy $n=1$:

Wyznaczamy $a_4$ - podstawiamy $n=2$:

Odpowiedź: $a_4=8$

Sposób 2 - weryfikacja przez wypisanie ciągu

Wypisujemy kolejne wyrazy, żeby upewnić się, że nie pomyliliśmy indeksów:

| $n$ | $a_n$ | Skąd? |
| 1 | $1$ | dane |
| 2 | $2$ | dane |
| 3 | $2^{1-1}+a_1+a_2=1+1+2=4$ | $n=1$ w regule |
| 4 | $2^{2-1}+a_2+a_3=2+2+4=8$ | $n=2$ w regule |

Kluczowe: reguła mówi $a_{n+2}=\dots$, więc aby dostać wyraz o indeksie $k$, podstawiamy $n=k-2$. Dla $a_4$ mamy $n=2$, więc potęga to $2^{n-1}=2^1=2$.

Potwierdzamy: $a_4=8$ ✓

Wzory z karty CKE

W tym zadaniu nie używamy konkretnych wzorów z karty CKE - wystarczy uważne podstawienie do wzoru rekurencyjnego zgodnie z podaną definicją ciągu.

Warto jednak pamiętać, że ciągi są omówione w Dziale 8 (Ciągi, s. 9-10) - tam znajdziesz wzory na ciągi arytmetyczne i geometryczne, ale ten ciąg jest rekurencyjny i nie należy do żadnego z tych typów.

Typowe pułapki i uwaga

⚠️ Uwaga: Indeks w potędze to $2^{n-1}$, a nie $2^n$ ani $2^{n+1}$. Przy obliczaniu $a_3$ podstawiamy $n=1$, więc potęga wynosi $2^0=1$, a nie $2$. To najczęstszy błąd!

⚠️ Uwaga: Reguła $a_{n+2}=\dots$ wiąże trzy wyrazy: $a_{n+2}$, $a_{n+1}$ i $a_n$. Nie myl indeksów - do obliczenia $a_4$ potrzebujesz $a_3$ i $a_2$, a nie $a_4$ i $a_3$.

⚠️ Uwaga: Definicja działa dla $n\in \mathbb{N}⧵\{0\}$, czyli $n\ge 1$. Nie możemy podstawić $n=0$ - wtedy $a_2$ byłoby wyznaczone z reguły zamiast być daną, co dałoby sprzeczność.

Poprawna odpowiedź: $a_4=8$

Sposób 1 - Iteracyjne obliczanie wyrazów

Z rekurencji $a_{n+2}=2^{n-1}+a_n+a_{n+1}$ podstawiamy kolejno $n=1,2$.

Dla $n=1$: $a_3=2^0+a_1+a_2=1+1+2=4$.

Dla $n=2$: $a_4=2^1+a_2+a_3=2+2+4=8$.

Zatem $a_4=8$.

Sposób 2 - Tabelka

| $n$ | $a_n$ | Obliczenie |
| 1 | 1 | dane |
| 2 | 2 | dane |
| 3 | 4 | $2^0+1+2=4$ |
| 4 | 8 | $2^1+2+4=8$ |

Uwagi o punktacji

• 1 pkt za zapisanie zależności $a_3=2^0+a_1+a_2$;
• 1 pkt za obliczenie $a_3=4$;
• 1 pkt za obliczenie $a_4=8$.

Trik: ciągi rekurencyjne zawsze oblicza się po kolei - nie ma tu wzoru jawnego, trzeba krok po kroku wyznaczyć $a_3$, a dopiero potem $a_4$. Uważaj na indeksy wykładnika: $2^{n-1}$ dla $n=1$ daje $2^0=1$.