Matematyka — zadanie 7

Rysunek przedstawia fragment wykresu funkcji liniowej $f$. Wykres funkcji $g$ jest obrazem wykresu funkcji $f$ otrzymanym za pomocą przesunięcia o wektor $\overrightarrow{u}=[2,1]$. Wyznacz miejsca zerowe funkcji $g$.

/matma-quiz/images/cke/MMA-P1G1P-021/z7.png

Poprawna odpowiedź: $x=-2,5$

Sposób 1 - odczyt z wykresu + wzór funkcji g

Krok 1: Odczytaj wzór funkcji f z wykresu.

Z wykresu odczytujemy, że prosta przechodzi przez punkty $(-4,0)$ i $(0,8)$.

Współczynnik kierunkowy:

Wyraz wolny $b=8$ (punkt przecięcia z osią OY), więc:

Krok 2: Wyznacz wzór funkcji g.

Przesunięcie wykresu o wektor $\overrightarrow{u}=[2,1]$ oznacza:

• każdy punkt $(x,y)$ na wykresie f przesuwa się do punktu $(x+2,y+1)$ na wykresie g

Dlatego wzór funkcji g po przesunięciu to:

Podstawiamy wzór f:

Krok 3: Wyznacz miejsce zerowe funkcji g.

Szukamy $x$, dla którego $g(x)=0$:

Sposób 2 - geometryczny (śledzenie punktu na f)

Kluczowe spostrzeżenie: Miejsce zerowe g to punkt, w którym wykres g przecina oś OX - czyli punkt postaci $(x_g,0)$. Skoro jest on obrazem pewnego punktu $(x_f,y_f)$ z wykresu f przesuniętego o $[2,1]$, to:

Stąd $y_f+1=0$, czyli $y_f=-1$.

Krok 1: Znajdź punkt na wykresie f, gdzie $f(x)=-1$:

Punkt $(-4,5;-1)$ leży na wykresie f.

Krok 2: Przesuń ten punkt o wektor $[2,1]$:

Punkt $(-2,5;0)$ leży na osi OX i na wykresie g - to właśnie miejsce zerowe funkcji g.

Wzory z karty CKE

Dział 11 (Geometria analityczna, s. 22-25) - równanie kierunkowe prostej:

Użyliśmy tego do wyznaczenia wzoru $f(x)=2x+8$ na podstawie dwóch punktów odczytanych z wykresu.

Właściwość przesunięcia o wektor $[p,q]$: wzór funkcji zmienia się zgodnie z $g(x)=f(x-p)+q$. To wynika z geometrii przekształceń - nie ma osobnego wzoru na karcie, ale warto zapamiętać regułę: przesunięcie w prawo o p → odejmujemy p od argumentu.

Typowe pułapki

⚠️ Uwaga: Przesunięcie o $\overrightarrow{u}=[2,1]$ to NIE jest $g(x)=f(x+2)+1$! W argumencie pojawia się $x-2$ (odjęcie), bo punkt $(x,y)$ przechodzi do $(x+2,y+1)$, więc odwracamy - żeby "wrócić" do f, wstawiamy $x-2$.

⚠️ Uwaga: Miejsce zerowe funkcji f (tutaj $x=-4$) to nie to samo co miejsce zerowe g. Nie wystarczy do zera f dodać 2 - trzeba uwzględnić oba składowe wektora.

⚠️ Uwaga: Przy odczycie z wykresu - sprawdź dwa punkty, żeby upewnić się co do wartości współczynnika kierunkowego. Pomyłka w nachyleniu pociągnie błąd we wzorze g i złą odpowiedź.

Poprawna odpowiedź: $x=-2,5$

Sposób 1 - Przesunięcie punktów i wyznaczenie wzoru $g$

Z wykresu odczytujemy punkty należące do prostej $f$: np. $(-2,0)$ (miejsce zerowe) i $(3,2)$.

Przesunięcie o $\overrightarrow{u}=[2,1]$:

• $(-2,0)\to (0,1)$
• $(3,2)\to (5,3)$

Wyznaczenie wzoru funkcji $g$ z punktów $(0,1)$ i $(5,3)$:

Miejsce zerowe:

Sposób 2 - Przesunięcie miejsca zerowego wzdłuż wektora

Miejsce zerowe funkcji liniowej $f$ to $x_0=-2$ (punkt $(-2,0)$ z wykresu). Po przesunięciu o $\overrightarrow{u}=[2,1]$ punkt $(-2,0)$ przechodzi na $(0,1)$ - to nie jest miejsce zerowe $g$, bo $y\ne 0$.

Wyznaczamy wzór $f$ z wykresu: $f(x)=\frac{2}{5}x+\frac{4}{5}$ (nachylenie $\frac{2}{5}$, miejsce zerowe $-2$).

Przesunięcie wykresu o wektor $[2,1]$ odpowiada zamianie $x\to x-2,y\to y-1$:

Zatem $g(x)=\frac{2}{5}x+1$, a miejsce zerowe: $x=-\frac{5}{2}=-2,5$.

Uwagi o punktacji

• 2 pkt za wyznaczenie wzoru $f$ lub za wyznaczenie obrazów dwóch punktów (po 1 pkt za każdy obraz);
• 2 pkt za wyznaczenie wzoru $g(x)=\frac{2}{5}x+1$ (1 pkt za zapis układu $x=x^{\prime }-2,y=y^{\prime }-1$);
• 1 pkt za miejsce zerowe $x=-2,5$.

Trik: przesunięcie wykresu $y=f(x)$ o wektor $[p,q]$ daje wykres $y=f(x-p)+q$. Miejsce zerowe przesuwa się wzdłuż osi $OX$ o tyle, ile wynosi całkowite przesunięcie - nie tylko składowa wektora!